(navigation image)
Home American Libraries | Canadian Libraries | Universal Library | Community Texts | Project Gutenberg | Children's Library | Biodiversity Heritage Library | Additional Collections
Search: Advanced Search
Anonymous User (login or join us)
Upload
See other formats

Full text of "Vremeplovom kroz matematiku"

Boris Cekrlija 



VREMEPLOVOM 
KROZ 



MATEMATIKU 




GrafoMark 



Boris Cekrlija 
Vremeplovom kroz matematiku 

Recenzenti 

dr Ratko Tosic 

Prirodno-matematicki fakultet Novi Sad 

mr Vladimir Stojanovic 
Saobracajni fakultet Beograd 

Lektor 
Zoja Cekrlija 

Korektor 
Autor 

Crtezi i korice 
Autor 

Kompjuterska obrada teksta 
Autor 



PREDGOVOR 

Ova knjiga je namijenjena ucenicima osnovnih i srednjih 
skola, njihovim nastavnicima, kao i svima onima kojima 
matematika nije struka, a zele nesto vise saznati o njenoj istoriji. 

U njoj su izlozeni sadrzaji koje nije moguce, a niti je 
potrebno, obuhvatiti programima matematike. Oni pruzaju 
mogucnost ucenicima da upotpune svoja znanja o matematickim 
pojmovima i teorijama, kao i da razviju i odrze interes za 
matematiku. Knjiga moze korisno posluziti nastavnicima za 
sticanje komplementarnih znanja neophodnih da se nastava 
matematike ucini interesantnijom. 

Nisam imao pretenzija da ova knjiga bude jedna opsta 
istorija matematike, nego sam nastojao da, po vlastitoj ocjeni, 
izlozim znacajnije sadrzaje iz istorije elementarne matematike. 

Recenzentima dr Ratku Tosicu i mr Vladimiru Stojanovicu 
izrazavam iskrenu zahvalnost na datim primjedbama i sugestijama 
koji su doprinijeli poboljsanju kvalitete knjige. 

Banja Luka, marta 2001. Autor 



SADRZAJ 

PRVA GLAVA 

BROJEVI 7 

1. Od crteza do znaka za brojeve 7 

2. Pozicioni brojevni sistemi 20 

3. Prirodni brojevi 28 

4. Razlomci 45 

5. Cijeli brojevi 53 

6. Iracionalni brojevi 57 

7. Korjenovanje 62 

8. Djeljivost 65 

DRUGA GLAVA 

ALGEBRA 69 

1. Uvod 69 

2. Racunske operacije 70 

3. Relacijski simboli 80 

4. Zagrade 81 

5. Simbolicka algebra 82 

6. Jednacine 87 

7. Teorija skupova i matematicka logika 98 

TRECA GLAVA 

GEOMETRIJA 101 

1. Uvod 101 

2. Tacka, prava i ravan 106 

3. Paralelne prave 109 

4. Ugao Ill 

5. Trougao 112 

6. Pitagorina teorema 118 



7. Cetverouglovi i mnogouglovi 120 

8. Kruznica i krug 125 

9. Proporcionalnost. Slicnost 130 

10. Analiticka geometrija 134 

11. Vektori 136 

12. Geometrijska tijela 137 

13. Pravilni poliedri 142 

14. Mjerenje vremena 146 

CETVRTA GLAVA 

MATEMATICKA CITANKA 151 

1. Geometrijski problemi 151 

1.1. Udvostrucavanje kocke 152 

1.2. Kvadratura kruga 153 

1.3. Trisekcija ugla 155 

1.4. Didonin problem 156 

1.5. Povrsina "krznarskog noza" 157 

1.6. Povrsina "rimskog slanika" 157 

1.7. Hipokratovi mjeseci 158 

1.8. Apolonijev problem 159 

1.9. Euklidov peti postulat 162 

2. Problemi iz teorije brojeva 164 

2.1. Brojnost skupa prirodnih brojeva 164 

2.2. Formula za odredivanje prostih brojeva 164 

2.3. Mersenovi brojevi 165 

2.4. Savrseni brojevi 166 

2.5. Problem brojeva blizanaca 166 

2.6. Fermaova velika teorema 166 

3. Topoloski problemi 167 

3.1. Keningzberski mostovi 167 

3.2. Problem cetiri boje 169 

Literatura 170 

Popis imena 171 



PRVA GLAVA 
BROJEVI 

1. OD CRTEZA DO ZNAKA ZA BROJEVE 



Kada, kako i kojim redom su nastajali brojevi? Kako 

Uvod su 1J UC ^ u P r °slosti brojali? Kada su poceli zapisivati 

brojeve? Kako su ih nazivali u vrijeme njihovog 

nastanka? Ovo su pitanja na koja se ne moze lako i jednostavno 

odgovoriti. Jedno je sigurno: ljudi nisu oduvijek znali da broje na 

nacin kako mi to danas cinimo. 

Razvoj matematike je neodvojivo vezan za opsti razvoj 
ljudskog drustva. U predcivilizacijsko doba protekli su milenijumi 
dok u ljudskoj svijesti nisu poceli da se formiraju zaceci pojma 
broja. Takode, mnogo vremena je bilo potrebno da bi covjek koji 
je skupljao plodove poceo da se bavi lovom, uzgajanjem stoke 
odnosno obradivanjem zemlje. Obavljajuci ove poslove razlikovao 
je jednu od dvije, tri ili vise ubranih vocki odnosno ulovljenih 
zivotinja. Covjek iz predcivilizacijskog doba bio je sposoban, iako 
nije znao brojati, da identifikuje elemente nekog skupa. To mu 
je, na primjer, omogucavalo da procijeni velicinu svog stada kao 
i da uoci da li mu nedostaje jedna ili vise ovaca. Slicno se moze 



zapaziti i kod djeteta koje ne zna da broji, a ipak je u stanju da 
uoci da li mu nedostaje neka od igracaka. 



Ako je broj krava odgovarao broju prsta 
na jednoj ruci, onda ih je pastir mogao 
brojati tako da svakoj kravi phdruzi tacno 
po jedan prst. 




Za matematicara brojanje je postupno navodenje brojeva pri 
cemu je svaki naredni broj za jedan veci od prethodnog. Naravno, 
samo brojanje pocinje sa nekim prirodnim brojem i nastavlja se 
dodajuci broj za jedan veci od prethodnog. 

U nasem jeziku brojanje obavljamo rijecima: 

jedan, dva, tri, cetiri, ... 
U latinskom jeziku brojeci izgovaramo sljedece rijeci: 

unus, duo, tres, quattuor, ... 
dok su u engleskom jeziku opet druge rijeci: 

one, two, three, four, ... itd. 
Ako ne znamo francuski jezik, onda: 

un, deux, trois, quatre, ... 



nije nista drugo nego navodenje rijeci bez smisla i znacenja kao 
sto je, na primjer: 

tarn, ram, tet, set, .... 

U principu brojanje je moguce izvoditi proizvoljno 
odabranim rijecima. Prema tome, u posljednjem slucaju brojevima 
jedan, dva, tri mozemo da dodijelimo, redom, imena tarn, ram, 
tet. 



Sam cin brojanja nastao je 



«v, r . istovremeno sa upotrebom 
brojeva. U pocetku ono se svodilo na uporedivanje elemenata 
nekog skupa sa elementima poznatog skupa. Vremenom je covjek 
pri brojanju sve rjede koristio prste, kamencice, skoljke ili neke 
druge predmete. 



Ako je imao vise ovaca, pastir je mogao svaku 
od njih prilikom odlaska na pasu da predstavi jednim 
kamencicem koji bi stavljao na gomilu. Predvece je 
za svaku ovcu prilikom njenog povratka uzimao sa te 
gomile po jedan kamencic i odlagao ga malo dalje. 
Ako je dolaskom posljednje ovce upotrijebio i 
posljednji kamencic, onda je bio siguran da su se sve 
vratile sa pase. Visak kamencica je znacio da se neke 
ovce nisu vratile. 




Istoricari matematike su, da bi saznali nesto vise o nastanku 
brojeva, izucavali obicaje i nacin zivota plemena koja su i danas 
na niskom stepenu razvoja. Na taj nacin se doslo do saznanja da 
su plemena, kod kojih je pojam broja bio tek u fazi formiranja, u 
stanju da ukazu na kolicinu pojedinih predmeta. Tako, na primjer, 
da bi pripadnik plemena saopstio da je ulovio jednu ribu 
pokazivao je na Mjesec ili Sunce; ako je zelio kazati da se radi o 



10 



dvije ribe, onda bi spominjao oci, usi ili krila ptice. Ruka je 
veoma cesto oznacavala broj pet, a obje ruke broj deset. 

Prvo se formiraju brojevi jedan i dva; jedan kao odlika 
jedinke (individue), a dva kao obiljezje />«ara. U sljedecoj fazi veci 
brojevi se obrazuju sabiranjem: broj £r/ sabiranjem brojeva 1 i 2, 
cerin - sabiranjem 2 i 2, /?e^ - sabiranjem 2 i 3 itd. 



Jedno australijsko pleme, 


koje 


zivi 


na 


ostrvima juzno od Nove Gvineje, 


koristi 


sljedece 


nazive za brojeve: 










jedan - 


urapun, 








dva - 


okoza, 








tri - 


okoza-urapun 


j 






cetiri - 


okoza-okoza, 








pet - 


okoza-okoza- 


urapun, 






sest - 


okoza-okoza-okoza. 




£T 



Naveli smo kako lovac daje do znanja da je ulovio jednu ili 
dvije ribe. U svakodnevnim komunikacijama ljudi su upotrebljavali 
rijeci kojima su predstavljali odredene brojeve. Te brojeve je 
trebalo nekako oznaciti. U pocetku su za to sluzili kamencici, 
skoljke ili neki drugi predmeti skupljeni u gomilu. Brojevi su 
oznacavani na razlicite nacine: pomocu zareza na stapu, cvorova 
na konopcu i slicno. 



Znaci 
za brojeve 



Prvi znaci za brojeve su bili crtezi 
predmeta ili zivotinja. Stari Egipcani broj 
sto hiljada su predstavljali crtezom 
krokodila, dok je kod Kineza taj isti broj oznacavan crtezom 
skorpije. Put do danasnjeg nacina zapisivanja brojeva je bio dug, 
spor i nimalo jednostavan. Na manjim ili vecim prostorima isti 



11 



brojevi su oznacavani na razlicite nacine. Mnoge od tih oznaka 
rijetko su se prenosile izvan prostora na kojima su nastajale. 

Za brojeve su korisceni razliciti simboli: cvorovi konopca 
kod Inka i Japanaca (si. 1), horizontalne ili vertikalne crte urezane 
u glini, na drvetu (si. 2), na jelenskim rogovima (si. 3) ili na 
skoljkama kao sto je radeno u podrucju Okeanije. 





SI. 1. 



SI. 2. 



Oblik i izgled znakova za brojeve zavisili su od pribora za 
pisanje kao i od materijala na kojem se pisalo. 




SI. 3. Zapisi brojeva na jelenskom rogu iz 
paleolita (15ooo g. p.n.e.) 



U Mesopotamiji se pisalo zasiljenim drvenim stapicem po 
glinenim plocicama (si. 4); u Egiptu ostrim predmetom po kamenu 
(si. 4), a zatim na papirusu i kozi perom i mastilom. Kinezi su u 
2. vijeku poceli proizvoditi i upotrebljavati hartiju. Prije toga su 
pisali ostrim predmetom po kamenu, a potom mastilom po 
bambusovim trakama i svili. Stari Grci su koristili vostane, 
odnosno drvene i kozne tablice koje su prethodno prevlacili 
tankim slojem sitnog pijeska; upotrebljavali su i papirus. Inace, 
pisanje po pijesku bilo je uobicajeno za narode gdje su za to 
dozvoljavali klimatski uslovi. 



12 



a) 




b) 




&M-M 



SI. 4. a) Glinena plocica iz Mesopotamije 
b) Zapisi na kamenu iz Egipta 



Papirus je vrsta trske sa obala Nila. Stan Egipcani su 
sjekli stabljike papirusa na uske trake i lijepili ih jednu 
do druge. Na tako dobijenim dugackim listovima su 
pisali, a ispisane listove savijali u svitke. 




SI. 5. Pripremanje listova papirusa za pisanje 



Prvi znaci za brojeve bili su jednostavni i predstavljali su 
skup od onoliko crta ili tacaka koliko je iznosio taj broj. O 
tacnom vremenu kada su nastali ovi znakovi ne moze se sa 
sigurnoscu govoriti, ali se zato moze odrediti period iz kojeg 
poticu konkretni istorijski izvori. 

Egipatski nacin zapisivanja brojeva hijerogli- 
Egipat fi ma bio je jednostavan. Smatra se da su Egipcani oko 

5000. godine p. n. e. koristili sistem brojeva sa bazom 
10. Razlicitim znacima su oznacavani stepeni broja 10, na primjer: 



13 



jedinica 


l 


desetica 


(\ 


stotina 


? 


hiljada 


I 


deset hiljada 


) 



Broj sto hiljada je predstavljen crtezom punoglavca, a milion 
crtezom boga sto je trebalo simbolizovati beskonacnost. Egipcani 
su zapisivali brojeve kombinovanjem ovih znakova, si. 6. 




■ II III 

1 2 3 



4 5 



III Nil Nil hi A 

iii iii mi jj| M 

6 7 8 9 10 



III A AAA <3) V 
lll'i AA 7 i 

16 50 100 1000 



SI. 6. Egipatski nacin zapisivanja brojeva 



14 



Vrijednost tako napisanog broja jednaka je zbiru njegovih 
pojedinacnih vrijednosti bez obzira na redosljed znakova. Ovakav 
nacin zapisivanja brojeva zasnovan je na sabiranju i naziva se 
aditivnim. 



= 1 00+1 00+1 0+1 0+1 0+1+1+1 +1 = 234. 



Broj 213 se mogao, kao i drugi brojevi, pisati na 
vise nacina: 

99AIII "I %^f\ oi IA?9 



Sabiranje i oduzimanje brojeva je jednostavno: 



»nn B +w8S-X$Jiitti!ii 



U ovom aditivnom sistemu zapisivanja brojeva mnozenje se 
svodi na mnozenje sa 2 i sabiranje nekih od tako dobijenih 
proizvoda. Mnozenje i dijeljenje sa 2 su ubrajani u osnovne 
racunske operacije koje su imale i svoje nazive: udvajanje 
(duplikacija) odnosno polovljenje. 



15 



Mnozenje sa 1 3 izvodilo se tako sto se 
1 o x 1 d. broj 1 2 udvajao kako je prikazano u 

tabeli. (Na primjer, broj 48 se dobije 
udvajanjem broja 24, koji je rezultat 
udvajanja broja 12.) Kako je 
13 = 1 + 4 + 8 to su se sabirali brojevi 
iz desne kolone (oznaceni su 
zvjezdicom), koji odgovaraju broje- 
vima 1 , 4 i 8 iz lijeve kolone. 



1 


12* 


2 


24 


4 


48* 


8 


96* 



156 



13 12 = (1+4+8) 12 = 1 12+4 12+8 12 = 12+48+96 = 156 



Rimski Aditivan nacin zapisivanja brojeva bio je u 

, . . upotrebi i u starom Rimu. Za rimske cifre su 

oroicvi 

uzeta latinicna slova, ima ih ukupno sedam: 



rimske cifre: I V X L C D M 

odgovarajuce ., g 1Q 50 -| 00 500 -| 000 

vrijednostr. 

Brojevi su zapisivani kombinovanjem ovih cifara. Doprinos 
koji pojedina cifra u zapisu nekog broja daje ukupnoj vrijednosti 
zavisi od njenog polozaja prema drugim ciframa. 

Tako, na primjer, cetiri jedinice su predstavljene jednim 
simbolom (IV), cetiri desetice drugim (XL), a cetiri stotine 
trecim (CD). Cifra V ima znacenje pet jedinica kako u broju VI 
tako i u broju IV. 

Rimljani nisu razvili jedan opsti sistem za zapisivanje velikih 
brojeva. Na primjer, Plinije (1. vijek nove ere) je broj 12000 
pisao XI I M. U jednom rukopisu broj 38784 je zapisan 

XXXVIII m DCCLXXXIV. 



16 

Slicno je bilo i u srednjem vijeku, u jednom rukopisu iz 
1150. godine broj 10000 je napisan X es M milia. U prvoj 
polovini 16. vijeka broj 9000 je predstavljen kao IXM, a sto 
miliona - 

C 

MM. 
U srednjem vijeku milion je oznacavan na razne nacine: 

MM ; X; fxl . 



Oznaka za sto miliona je bila |M 



Tek mnogo kasnije formirana su pravila za pisanje rimskim 
ciframa: 



1. Vrijednosti dva ista znaka koji stoje yv - 90 
jedan uz drugog se sabiraju; ^ w 

2. Vrijednost znaka koji se nalazi sa 

desne strane znaka vece vrijednosti iy _ oq 

sabira se sa vrijednoscu tog znaka; 

3. Vrijednost znaka koji se nalazi 

izmedu dva znaka sa vecom i iy _ cq 

vrijednoscu oduzima se od vrijednosti 
znaka koji je desno od njega; 

4. Broj nadvucen jednom crtom znaci da Qx = 59 000 
je on uvecan hiljadu puta, a broj 

nadvucen dvjema crtama je uvecan |_|X =59 000 000 
milion puta. 



Rimljani nisu brojeve nadvlacili crtama da bi naznacili 
da se radi o broju koji je uvecan hiljadu odnosno milion puta. 
Takve oznake su koristili kad je trebalo istaci razliku izmedu 
broj a i imenice. 



17 

Ako je, na primjer, u tekstu trebalo napisati "2 covjeka" ili 
"tri covjeka" (triumvirat), onda je to cinjeno na sljedeci nacin: 
llVIR, odnosno MlVIR; vir (lat.) - covjek. Ovo nije bilo jedno 
opste pravilo nego se javljalo kod pojedinih autora kako u starom 
tako i u kasnom srednjem vijeku. 



Neujednacen nacin pisanja velikih brojeva cesto je 
dovodio do nesporazuma. Tako je, na primjer, zena cara 
Augusta darovala jednom Rimljaninu 50 miliona sestercija 
sto je u dokumentu oznaceno sa |D| . Ovu svotu trebao je 
isplatiti njen necak, koji je zapisu navedenog broja 

izostavio dio okvira tako da je ostalo zapisano D (pet 
stotina hiljada). Na taj nacin obecani iznos novca je 
umanjen sto puta. 



Rimski brojevi se danas koriste za oznacavanje godina, glava 
u knjizi, stranica nekog predgovora i si. (I glava, XIX vijek, VIM 
godina Republike). 



Rimljani su broj hiljada oznacavali grckim 

slovom O kojeg su pisali C|D. Znak za pet stotina 

je nastao kao "polovina" znaka za hiljadu : \D ili C| 

da bi se kasnije zadrzao znak \D koji je vremenom 

transformisan u slovo D. Tek krajem 17. vijeka za 
hiljadu se koristi znak M kao prvo slovo rijeci 
MILLE (hiljada). Na naslovnoj strani Dekartove 

Geometrije (1637) godina izdanja oznacena je sa C|D 

IdCXXXVII, si. 7. 



DIJCOURS 

DE LA METHODE 

Pour bien con du ire Ci raifon.tV: chcrchcc 
la vcrJEc dam lc^ IcLzncc ,. 

-LA DIOPTRIQVE. 

LES MET EORES. 

ET 
LA GEOMETRIE. 

Qjij Jons dti t$an de cttc Methods 



A I, X V D E 

De I'lmprimcric de I hVr}A aire, 

C T J I 3 C It 1 * T U. 




SI. 7. Naslovna strana Dekartove Geometrije 



XI = 11 
XXIII = 23 
XLIX=49 
LXVII = 67 
CMLIX = 959 



CMXCIX = 999 
XVCLXI = 15 161 



XLIXLI = 41 041 
M = 1 000 000 




Alfabetski Fenicani su prije 5000 godina uveli novi 

. . . sistem numeraciie broieva pomocu slova. 

J Jevreji i Grci su prihvatili takav nacin 

zapisivanja brojeva i prilagodili ga svom alfabetu. Do 3. vijeka 

p. n. e. grcki matematicari su zamijenili svoju numeraciju brojeva 



19 

sa alfabetskom. Novi sistem zapisivanja brojeva koristi prvih devet 
slova alfabeta za brojeve od 1 do 9, sljedecih devet slova za 
desetice (10, 20, 30,..., 90) i posljednjih devet slova za stotine 
(100, 200, 300,..., 900). Zapeta ispred znaka za jedinicu je 
znacila da je taj broj uvecan hiljadu puta, si. 8. U starom grckom 
alfabetu su bila 24 slova, a za oznacavanje svih jedinica, desetica 
i stotina bilo je potrebno 27 slova. Grci su ovaj problem rijesili 
tako sto su pored 24 pomenuta slova koristili i tri stara, kojima 
se inace pri pisanju nisu sluzili. Da bi razlikovali brojeve od slova 
oni su iznad znaka za broj stavljali crtu ili apostrof u gornjem 
desnom uglu, si. 8. 



1 


a 


10 


i 


100 


P 


1000 


,a 


2 


P 


20 


K 


200 


a 


2 000 


,P 


3 


y 


30 


X 


300 


X 


3 000 


>Y 


4 


8 


40 


n 


400 


o 


4 000 


,5 


5 


s 


50 


v 


500 


9 


5 000 


,e 


6 


? 


60 


I 


600 


X 


6 000 


^ 


7 


1 


70 


o 


700 


V 


7 000 


,1 


8 


n 


80 


71 


800 


CO 


8 000 


,n 


9 





90 


Q 


900 


^ 


9 000 


,e 



SI. 8. Grcki alfabetski brojevi 
Alfabetskom notacijom broj 2045 se zapisivao 



,fi]US m ,J3jU£' 



20 



Zapisivanje brojeva pomocu slova koristili su i drugi narodi, 
na primjer: Sirijci, Jermeni, Goti i Sloveni. 





I 


ii 


III 


IV 


1 


A 


1 


C 




2 


? 


J> 


F 


£ 


3 


t 


S> 


7- 


? 


4 


i 


1 


')■ 


d 


5 


9 


<r> 


t 


? 


6 


1 


o 




s 


7 


5 


) 


1; 


1 


8 


n 


or 


C 


H 


9 


I 


i 


/■)■ 




10 


■ 


-a 


J' 





SI. 9. Alfabetski brojevi 
I-Hebrejski (5. vijek p. n. e.); 
II-Sirijski; III-Jermenski; 
IV-Glagoljicki (10. vijek) 



1 


3 


3 


4 


1 


4 


7 


I 





A 


t 


f 


Ji 


T 


5 


% 


H 


% 




11 12 


13 


14 


a 


14 


T7 


is 


1Q 


Al 


61 


ft Al t\J\ 


5 1 


iTl 


-fl 



10 


20 


so 


»0 


so 


«o 


70 


B0 


90 


T 


K 


A 


/U 


H 


3 





n 


M 














wo 


900 


300 


400 


5O0 


400 


7M 


BOO 


900 


, — ' 

\ 


C 


■f 




T 


X 


¥ 


w 


, ' 



SI. 10. Zapisivanje brojeva 
u Rusiji (17. vijek) 



2. POZICIONI BROJEVNI SISTEMI 



Danas se brojevi najcesce zapisuju u dekadnom pozicionom 
sistemu. Smatra se da ovaj sistem zapisivanja brojeva ima korijene 
u prirodi mnogih jezika. Tako, na primjer, u nasem jeziku postoji 
deset razlicitih naziva za brojeve od 1 do 10: jedan, dva, tri, 
cetiri, pet, sest, sedam, osam, devet i deset. Ostali nazivi za 
prirodne brojeve su izvedeni iz imena prvih deset brojeva 
Qedanaest, dvanaest, trideset i pet itd.) Naravno i ovdje postoje 
izuzeci kao sto su brojevi 100 i 1000. Slicno je i u nekim 
drugim jezicima. 

Saglasno izvodenju naziva brojeva uvodi se deset razlicitih 
oznaka, cifara: 

0,1,2,3,4,5,6,7,8 i 9. 



21 

Svaki prirodan broj se moze zapisati pomocu ovih deset simbola. 

Kod dekadnog brojevnog sistema svaka cifra pored svoje 
brojevne vrijednosti ima i mjesnu (pozicionu) vrijednost. Tako, 
na primjer, u broju 359 cifra 5 se nalazi na mjestu desetica i 
ima mjesnu vrijednost pedeset. Ista cifra u broju 5971 je na 
mjestu hiljada te ima mjesnu vrijednost pet hljada. Dekadni 
sistem zapisivanja brojeva se zasniva na principu mjesnih 
(pozicionih) vrijednosti cifara i naziva se pozicioni. Broj razlicitih 
cifara koji se upotrebljava u pozicionom brojevnom sistemu 
predstavlja osnovu tog sistema. Dakle, osnova dekadnog sistema je 
broj 10 (koristi se deset razlicitih cifara). Poziciona vrijednost 
cifre prirodnog broja u dekadnom sistemu odredena je stepenom 
broja 10: 

5378 = 5-10 3 +3-10 2 +7-10 1 +8-10° 

Za osnovu pozicionog brojevnog sistema moze se uzeti bilo 
koji prirodan broj veci od 1 . 

Ako se umjesto 10 za osnovu uzme broj 5, onda se svaki 
broj zapisuje pomocu nekih od cifara 0, 1 , 2, 3 i 4. U torn 
slucaju pozicione vrijednosti cifara su odredene stepenima broja 5. 



Broj stotinu devedeset tri u dekadnom sistemu pisacemo 
193/ 10 ), gdje smo sa (10) oznacili da se radi o zapisu 

datog broja u pozicionom sistemu sa osnovom deset. Isti 
broj zapisan u pozicionom sistemu sa osnovom 5 pisacemo 

1233 (5) , jerje 1233 (5) = 1 • 5 3 +2 • 5 2 + 3 • 5 1 + 3 • 5° . 



Vavilonci su koristili pozicioni sistem sa osnovom 60; 

Vavilon takozvani sezdeseticni (seksagezimalni) brojevni sistem. 

Brojevi su pisani samo pomocu dvije "cifre": jedna je 

bila u obliku klina V, a druga horizontalno polozenog klina K. 



22 

Znak V ima vrijednost 1 ili 60 zavisno od polozaja koji 
zauzima u zapisu broja. 

□ Primjer. 

Broj 92 Vavilonci su zapisivali 

Y<«YV. 

Pri tome, znak V koji je prvi slijeva ima vrijednost 
60 dok isti ti znaci na pretposljednjem i posljednjem 
mjestu imaju vrijednost 1 . 

Broj 62 je predstavljan sa tri ista znaka: 

v yy, 

tako da je ostavljan razmak izmedu znaka za broj 60 
i za broj 2. 

□ Primjer. 

Zapis ^V se mogao interpretirati kao 11 ili 

11 
1 1 X 60 ili — . O koiem broiu se radi Vavilonci su 
60 

odredivali na osnovu konkretnog zadatka. 

Ovakav nacin pisanja brojeva je predstavljao prvi korak od 
adicionog ka pozicionom brojevnom sistemu. Jedan od njegovih 
nedostataka je odsustvo znaka za nulu. 

Zasto su Vavilonci za osnovu uzeli bas broj 60? 
Najvjerovatnije da se razlog nalazi u cinjenici da broj 60 ima 
vise djelilaca za razliku od nekih drugih brojeva: 2, 3, 4, 5, 6, 
10,12,15,30. 

Pisanje brojeva sa osnovom 60 koristi se i danas: podjela 
ugla na 360 stepeni, stepena na 60 minuta, minute na 60 
sekundi, kao i casa na 60 minuta i minute na 60 sekundi. 



23 



YV VVV YYY YYY 

Y YY 



YYY YYY YYY YYY 

YYY YYY YYY YYY 

Y YY YYY 

6 7 8 9 



< <Y <YV <YYY 

10 11 12 13 



YYY ^ YYY 
Y ^ YY 



« ^ 



< 

14 15 10 50 



SI. 11. Vavilonski nacin zapisivanja brojeva 
pomocu klinastog pisma 

U Centralnoj Americi Maje (10-12. vijek) su 
Mqje koristili pozicioni brojevni sistem sa osnovom 20. 

Za to su im bila potrebna tri znaka: 



24 



Posljednji znak podsjeca na skoljku - neki ga nazivaju i 
oval. Pomocu tacaka i crtica mogu se napisati brojevi od 1 do 
19. Dopisivanjem ovala ispod bilo kojeg od tako napisanih 
brojeva dobija se dvadeset puta veci broj. 

Slicnost sa danasnjim nacinom zapisivanja brojeva je 
ocigledna: nula dopisana nekom broju sa desne strane uvecava taj 
broj deset puta. 

Maje su svoj sistem zapisivanja brojeva prilagodili mjerenju 
vremena. Dodajuci drugi oval dati broj bi uvecavali 18, a ne 20 
puta. Prema tome zapis 



predstavlja broj 360 (1x20x18). Godina kod Maja je imala 360 
dana; 18 mjeseci sa po 20 dana. 



12 3 4 5 



6 7 8 9 10 



15 19 20 40 60 



80 100 200 

SI. 12. Oznake za brojeve kod Maja. 



25 



Kinezi su do cetvrtog vijeka prije nove ere brojeve 
Kina oznacavali hijeroglifima, kada su presli na 

predstavljanje brojeva pomocu stapica. Hijeroglifski 
nacin zapisivanja brojeva bio je komplikovan (si. 13), za razliku 
od njihovog predstavljanja pomocu stapica (si. 14). 



- - H t& & 



6 



10 



SI. 13. Kineski zapisi brojeva hijeroglifima 




H 


i ii iii mi inn 




12 3 4 5 




T T ¥ ¥ 




6 7 8 9 




^^_ ^^^ " ' 




10 20 30 40 50 




±111 




60 70 80 90 





SI. 14. Kinesko oznacavanje brojeva ciframa-stapicima 



26 



Stotine i desetine hiljada Kinezi su oznacavali kao i jedinice, 
a hiljade kao desetice. Na osnovu ovih pravila broj 5678 se 
zapisivao 



= T1 



Indijsko-arapski Danasnji deseticni brojevni sistem nastao 
... je u Indiji. Neki istoricari matematike su 

misljenja da je on inspirisan vavilonskim 
nacinom predstavljanja brojeva. U Indiji je pronadena kamena 
ploca iz 595. godine na kojoj je zapisan broj 346; smatra se da 
je to prva poznata primjena deseticnog pozicionog sistema. 
Ovakav nacin zapisivanja brojeva u Evropu su prenijeli Arapi 
preko sjeverne Afrike i Spanije. Zato se cifre koje danas 
koristimo nazivaju arapskim. Za prihvatanje deseticnog pozicionog 
sistema u zapadnoj Evropi zasluzan je arapski matematicar al- 
Horezmi (oko 780 - oko 850) i njegovo djelo 
O indijskom broju. Do tada se u Evropi koriste rimski i grcki 
brojevi. 



I 

II 

III 

IV 

V 

VI 

VII 



i 


2 


3 


4 


5 


6 


7 


8 


3 


4 


/ 


r 


/ 


XT 


V 


* 


H 


* 


t 


a 


3 


-v 


*r 


t 


6 


** 


-< 


I 


z 


T 


*c 


<T 


/O 


s- 


S 


? 


i 


? 


h 


A 


^ 


S 


7 


u 


7 


i 


f 


r* 


r< 


o 


H 


V 


A* 


f 


' 


z. 


> 


*s 


> 


s 


7 


© 


? 


t 


X 


> 


* 


r 


6, 


7 


if 


? 



SI. 15. Evolucija arapskih brojeva 
I-Staroindijski brojevi; II-Indijski brojevi 
(5. v.); Ill- Boecije (6. v.); IV- Evropa (4. v.); 
V- Arapski brojevi (azijski), 12. v; VI-Arapski 
brojevi (evropski), VII-Brojevi (Evropa, 13. v.) 



27 



Dekadski brojevni sistem je sporo osvajao Evropu. Cesto se 
nailazilo na dekadsko zapisivanje brojeva pomijesano sa grckim 
nacinom oznacavanja brojeva. U Francuskoj su sve do 1789. 
godine zvanicni racuni bili pisani rimskim brojevima. 

U 15. vijeku dekadski pozicioni nacin zapisivanja brojeva se 
prosirio u cijeloj Evropi. Danasnji oblik arapskih cifara je nastajao 
dugi niz godina. Pojedine oznake za cifre su pretrpjele znatne 
promjene, si. 15. 



sistem brojeva 



Binarni Sa razvojem elektronskih racun- 

skih masina sve vecu primjenu dobija binarni 
sistem u kome je osnova racunanja broj 2, a 
cifre su i 1 . Racunanje u ovom sistemu je dosta dugo, ali 
istovremeno i jednostavno; tablice sabiranja i mnozenja su 
uproscene. 



Tablica sabiranja 


Tablica mnozenja 


+ 0= 


= 


+ 1=1 


1=0 


1+0=1 


1 = 


1 + 1 =10 


11=1 



Broj napisan u binarnom brojevnom sistemu moze se 
predstaviti pomocu elektricnih impulsa, pri cemu prisustvo 
elektricnog impulsa oznacava jedinicu, a njegovo odsustvo - nulu. 
Na torn principu rade kompjuteri. 

□ Primjer. 

a) Pretvaranje zapisa broja iz deseticnog u binarni sistem: 

29 (10) =1 2 4 +1 2 3 +1 -2 2 +02 1 +1 -2°=1 1 101 (2) 

b) Prikaz pretvaranja zapisa broja iz binarnog sistema u 

deseticni: 

1 001 (2 )=1 2 3 +0 2 2 +02 1 +l -2°=8+0+0+1 =9 (10) 

c) Sabiranje u binarnom sistemu se obavlja 
prema navedenoj tablici za sabiranje. 



28 



3. PRIRODNI BROJEVI 

Brojevi 1,2,3,... koje nazivamo prirodnim, dobro su nam 
poznati i spadaju u najvaznije matematicke pojmove. Naziv 
prirodni broj prvi put se spominje u djelu Uvod u aritmetiku 
grckog matematicara Nikomaha (oko 100. godine nove ere). Taj 
naziv je preuzao Boecije (oko 480-524) i koristio ga u djelu 
Uputa u aritmetiku, odakle je dospio u srednji vijek i dalje do 
nas. 

Kod Egipcana i Vavilonaca prirodni brojevi se javljaju u dva 
znacenja: kao glavni ili kardinalni i kao redni ili ordinalni 
brojevi. Glavni brojevi utvrduju koliko je izbrojano elemenata 
nekog skupa, a redni odreduju mjesto po redu pojedinog elementa 
konkretnog skupa. 

Vec je starim Egipcanima bila poznata podjela prirodnih 
brojeva na parne ili take (2, 4, 6, 8, ...) i neparne ili lihe (1,3, 
5, 7, ...). Oni su pored osnovnih operacija poznavali i koristili 
operacije: udvostrucavanje (mnozenje sa 2) i polovljenje (dijeljenje 
sa2). 

Mada je jos Aristotel (384-322. p.n.e.) definisao prirodni broj 
kao "mnozinu koja se mjeri jedinicom" , bilo je rasprava treba li i 
jedinicu smatrati brojem. Neki matematicari 17. vijeka smatrali su 
da jedinica nije broj. Uporiste ovom tvrdenju nalazili su u ucenju 
pitagorejaca. 

Grcki filozof Platon (427-347. p.n.e.), koji je definisao 
aritmetiku kao nauku o svojstvima parnih i neparnih brojeva, 
tvrdio je da parnih i neparnih brojeva ima jednako mnogo. 



U Platonovo vrijeme bila je popularna igra 
u kojoj jedan od igraca izgovara 
proizvoljan prirodan broj, a ostali treba 
da odrede da li je taj broj paran ili 
neparan. 



29 

Svojstva prirodnih brojeva pocela su se uocavati dosta davno 
i nezavisno od operacija sa njima. Mnoga od njih su bila poznata 
Vaviloncima i Egipcanima. 

Grcki matematicar Pitagora (6. vijek p.n.e.) kao i njegovi 
sljedbenici, poznati pod nazivom pitagorejci, pristupali su predano, 
sa mnogo zara i misticizma, proucavanju svojstava prirodnih 
brojeva. Oni su iz skupa prirodnih brojeva izdvajali i proucavali 
proste, slozene, kvadratne, trougaone, savrsene, prijateljske kao i 
druge brojeve. 

Prosti Brojevi razliciti od 1 , koji nemaju drugih 

brojevi djelilaca osim broja 1 i samoga sebe 

nazivaju se prosti brojevi. Za Euklida 

(?365-?300. p.n.e.) prost broj se ne moze mjeriti nijednim brojem 

nego samo jedinicom. 

Od prvih deset prirodnih brojeva cetiri su prosta; medu 90 
dvocifrenih brojeva prostih je 21, a medu 900 trocifrenh brojeva 
143 su prosta. Ako dalje 
nastavimo sa odredivanjem 
broja prostih brojeva medu 
cetverocifrenim i petocifrenim 
brojevima vidjecemo da ih ima 
sve manje i manje. Stare Grke 
je interesovalo da li postoji 
takav prirodan broj da nijedan 
od njega veci broj nije prost. 

Odgovor na ovo pitanje dao je Euklid dokazavsi da prostih 
brojeva ima beskonacno mnogo. On je tu tvrdnju iskazao stavom: 

Prostih brojeva je vise od ma koje 
naznacene mnozine brojeva. 

Grcki matematicar Eratosten (?276-?194. p.n.e.) prona- 
sao je metod za odredivanje svih prostih brojeva koji su manji od 
nekog datog broja. Ovaj metod je u matematici poznat pod 
imenom Eratostenovo sito. 



1999. godine otkriven je, 
pomocu kompjutera, najveci 
poznati prost broj: 

p756839_^ 

koji sadrzi 2098960 cifara. 



30 



O Primjer. 

Primjenimo Eratostenov postupak za odredivanje 
prostih brojeva manjih od 100, si. 16. Precrtajmo 
jedinicu, koja se ne smatra ni prostim ni slozenim 
brojem. Zatim podvucimo prost broj 2 i precrtajmo 
sve brojeve koji su djeljivi sa 2. Sljedeci 
neprecrtani broj je 3. Podvucimo ga, a zatim 
precrtajmo sve brojeve koji su djeljivi sa tri. 
Sljedeci broj koji nije ni podvucen ni precrtan je 
5. Nastavimo ovaj postupak i u slucaju broja 5. 




SI. 16. Eratostenovo sito 



Na kraju cemo dobiti sve proste brojeve manje 
od 100; to su svi podvuceni brojevi. G 



31 



(i) Francuski matematicar Lezandr (1752-1833) 
je za odredivanje prostih brojeva koristio 
formulu p n =2n 2 +29 za n=0,1 ,2,...,28. Na 
taj nacin se odreduje 29 prostih brojeva. 

(ii) Slicno, svajcarski matematicar Ojler (1707- 
1783) je za odredivanje prostih brojeva 
pronasao formulu p n = n +n+41 gdje je 
n=0,1 ,2. ..,39. Medutim, za n=40 dobija se 
p 4 o=40 2 +40+41=40 2 +240+1=41 2 i ovaj 
broj je slozen. 

(iii) Francuski matematicar Ferma (1601-1665) je 
smatrao da su brojevi oblika 

F n =2 2 +1 

prosti. Ovo tvrdenje je tacno za 
n=0,1,2,3,4. Ako je n=5 dobije se broj 
4294967297 za kojega je Gaus (1777- 
1855) dokazao da je slozen; 

4294967297=641 7600417. 



Kvadratni 
brojevi 



Grci su brojeve interpretirali pomocu 
geometrijskih objekata. Brojeve koje su 
prikazivali u obliku geometrijskih figura 

nazivali su figurativni brojevi. Dijelili su ih na trougaone, 

kvadratne, pentagonalne, piramidalne i druge. 



Na si. 17 brojevi 1, 4, 9 i 16 su prikazani kao skupovi 
tacaka u ravni rasporedeni u jednak broj redova i kolona. Od ovih 
brojeva su "sagradeni" kvadrati te su ih pitagorejci nazivali 
kvadratni brojevi. 



32 



H 




• • • • 

• • •! • • • • 

• • • • • • • 

• • • • • • • 



SI. 17. Kvadratni broievi 

Kvadratne brojeve mozemo interpretirati na nacin kako je to 
prikazano na si. 18. 



H 

1 



• • • •_•]• • 

•• ••• •••• 



1+3=4 



1+3+5=9 
SI. 18. 



1+3+5+7=16 



Kako cemo dobiti nove kvadratne brojeve? Jednostavno, 
"konstruisacemo" sve vece i vece kvadrate, si. 19. Peti kvadratni 
broj 25 dobije se kao zbir pet prvih prirodnih neparnih broja: 
1+3+5+7+9=25. Lako se mozemo uvjeriti da je sesti kvadratni 
broj 36 jednak zbiru sest prvih prirodnih neparnih brojeva: 

1+3+5+7+9+11=36. 




















1+3+5+7+9=25 1+3+5+7+9+11=36 
Si. 19. 



33 



Doista, moze se dokazati da je zbir prvih n neparnih 
prirodnih brojeva kvadratni broj, tj. da vazi 

1 +3+5+7+. ..+(2n-1)=n 2 . 



Trougaoni 
brojevi 



Brojevi 1, 3, 6 i 10 se mogu rasporediti kao 
skupovi tacaka u ravni u obliku trougla, si. 
20. Ovi brojevi se nazivaju trougaoni. 



Ik 






SI. 20. Trougaoni brojevi 

Trougaone brojeve mozemo interpretirati na nacin kako je 
prikazano na si. 21. 



tk 





• • \ 

• • «\ 
t • • • 



1+2=3 



1+2+3=6 
SI. 21. 



1+2+3+4=10 



Nove trougaone brojeve dobijacemo tako da "gradimo" sve 
vece i vece trouglove, si. 22. 





1+2+3+4+5=15 

SI. 22. 



1+2+3+4+5+6=21 



34 



Peti trougaoni broj 1 5 se dobije kao zbir pet prvih prirodnih 
brojeva: 1+2+3+4+5=15. Sesti trougaoni broj je 21. On je 
jednak zbiru sest prvih prirodnih brojeva: 1+2+3+4+5+6=21 . 

Za trougaone brojeve 1 ,3, 6, 10, 15,.. .,n vazi: 



1 = 



1+2=3= 



1+2+3=6= 



1-2 

~2~ 
2-3 

2 

3-4 



1+2+3+4=10= 



1+2+3+4+5=15= 



2 

4-5 



2 
5-6 



1 + 2 + 3 



n 



n-(n + 1) 



Dakle, zbir prvih n prirodnih brojeva je trougaoni broj; svaki 

n(n + 1) 



broj koji se moze napisati u obliku 

Broj 1 je i kvadratni i 
trougaoni broj. Da li ima jos 
brojeva sa ovim svojstvom? 
Svakako da ima. Jedan od njih 
je broj 36. Na si. 23 je 
prikazano kako se kvadratni broj 
36 moze prikazati kao trougaoni 
broj. 



je trougaoni. 




SI. 23. 



35 



Utvrdeno je da prva znanja o figurativnim brojevima poticu 
od Vavilonaca. Od njih su Grci preuzeli ucenje o figurativnim 
brojevim i usavrsili ga. Grcki matematicar Diofant (3. vijek) je 
napisao knjigu o figurativnim brojevima. 



Nikomahov identitet 

O figurativnim brojevima pisao je Nikomah u 
knjizi Uvod u aritmetiku. 



Zbir dva uzastopna 
trougaona broja je 
kvadratni broj (si. 24). 




SI. 24. 



Petougaoni brojevi 

1,5, 12,22,35, ... 

Petougaoni broj je broj koji se mole 

n • (3n - 1) 

napisati u obliku . 



O 



& 



1 5 12 

SI. 25. Petougaoni brojevi 



36 



Tetraedarski brojevi 

1,4,10,20,35,... 

Brojevi koji se mogu zapisati u obliku 

n-(n + l)-(n + 2) 
6 

nazivaju se tetraedarski brojevi . 





4 w 10 

SI. 26. Tetraedarski brojevi 



Savrseni Svaki djelilac proizvoljnog broja n, razlicit od 

brojevi samog broja n, naziva se pravi djelilac broja 

n. Pravi djelioci broja 6 SU 1 , 2 i 3. Njihov 

zbir je 1+2+3=6. Dakle, broj 6 je jednak zbiru svojih pravih 

djelilaca. To svojstvo ima i broj 28 (njegovi pravi djelioci su 1 , 

2, 4, 7i 14): 

28=1+2+4+7+14. 

Ovi brojevi se nazivaju savrsenim. Savrseni broj je onaj 
broj koji je jednak zbiru svih svojih pravih djelilaca. Da li postoji 
jos savrsenih brojeva? Svakako da postoji. Sljedeci savrseni 
brojevi su 496 i 8128. Za ovaj posljednji savrseni broj znao je 
Nikomah. Dalje traganje za novim savrsenim brojevima nije bilo 
nimalo jednostavno. 



37 

Italijanski matematicar Fibonaci (1180 - oko 1250) je za 
odredivanje savrsenih brojeva koristio izraz 

|'2»( 2 »-1), 
gdje je 2 P - 1 prost broj. Za p = 2, 3, 5 i 7 dobija se: 

-•2 2 (2 2 -l)=6, --2 3 (2 3 -l)=28 , 

-•2 5 (2 5 -l)=496, --2 7 (2 7 -l)=8128 . 

Peti savrseni broj 33 550 336 pronasao je njemacki 
matematicar Regiomontanus (1436-1476). 

Ojler je tvrdio da je 

2 n " 1 (2 n -l) 

savrsen broj za n=1 ,2,3,5,7,13,19, 31, 41 i 47. Kasnije je 
pokazao da ovo tvrdenje nije tacno za n=41 i n=47. 



8 589 056 - sesti savrseni broj 

137 438 691 328 - sedmi savrseni broj 

2 305 843 008 139 952 128 - osmi savrseni broj 

Do januara 2000. godine bilo je poznato 38 savrsenih 
brojeva i svi su oni parni. Posljednji i najveci savrseni 
broj, medu ovih 38, pronaden je 1999. godine; zapisuje 
se pomocu 4 197 919 cifara. 



38 

. Pravi djelioci broja 220 su: 1 , 2, 4, 5, 10, 

Pnjateljski 2Q 22 44 55 . 1 1 Q Njihov zb - r jg 284 . 

brojevi 

1 +2+4+5+1 0+20+22+44+55+1 1 0=284. 

Slicno, pravi djelioci broja 284 su: 1, 2, 4, 71 i 142. 
Njihov zbir je 220: 

1+2+4+71+142 = 220. 

Brojevi, kao sto su 220 i 284, kod kojih je zbir svih pravih 
djelilaca jednog broja jednak drugom broju, nazivaju se prijateljski 
brojevi. Pitagorejci su znali samo za jedan par prijateljskih 
brojeva: 220 i 284. Ojler je u 17. vijeku pronasao 65 parova 
prijateljskih brojeva. Prijateljske brojeve su proucavali Ferma i 
Dekart. Dekart je 1638. godine otkrio prijateljske brojeve 

9 363 584 i 9 437 056. 

Zahvaljujuci racunarima do pocetka 1998. godine bilo je 
poznato 4316 parova prijateljskih brojeva. Do danas nije utvrdeno 
da li ih ima konacno ili beskonacno mnogo. 



Mnogi su tragali za novim parovima prijateljskih 
brojeva. Medu njima je bilo poznatih matematicara, ali 
i onim drugih. Tako je u 17. vijeku cuveni muzicar 
Nikolo Paganini kao sesnaestogodisnjak otkrio jedan 
par prijateljskih brojeva: 1184 / 1210. 



Brojevi 
blizanci 



Dva prosta 
nazivaju se 


broja koji se razlikuju za 2 
blizancima. Brojevi blizanci su, 


na pnmjer, 

3i 


5; 


5i 


7; 


11 i 


13; 


41 i 


43; 


101 ] 


l 103; 


10999949 


i 10999951. 



39 



Postoji osam parova brojeva blizanaca koji su manji od 100; 
1224 para je manjih od 100000, a 440312 ih je manje od sto 
miliona. Ne zna se da li brojeva blizanaca ima konacno ili 
beskonacno mnogo. Oni se mogu odredivati pomocu 
Eratostenovog sita. 



Fibonacijevi brojevi 

U nizu brojeva 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,... uocimo 
pravilo po kojem su napisani: 

pocevsi od treceg clana svaki od brojeva jednak je 
zbiru dvaju njemu prethodnih clanova. 
Brojevi ovog niza se nazivaju Fibonacijevi brojevi po 
matematicaru Fibonaciju. On je u djelu Knjiga o abaku (1202) 
prvi put skrenuo paznju na ovaj niz. 
Fibonacijevi brojevi se dobiju rjesavanjem zadatka: 

Koliko se pari zeceva moze dobiti tokom jedne godine od 
jednog para ako svaki par rada novi par, koji je vec od 
drugog mjeseca u stanju da rada i ako se zna da zecevi 
ne umirul 



Mjesec 



Svega pari 
zeceva 




l 

2 
3 

4 

5 



■** 




1 
2 



*«* 4*4* «*^ «*^ «»^ 



13 



40 

Brojevi i Pitagorejci su dijelili brojeve u tri kategorije: 

• • muske - neparne; zenske - parne i parno- 

neparnu jedinicu. Smatrali su da brojevi imaju 

magicna svojsta. Tako je, na primjer, broj jedan predstavljao 

svemir i savrsenstvo; brojevi 4 i 9 su olicenje pravednosti, jer su 

nastali mnozenjem jednakih brojeva. 

Insistirajuci na vezi aritmetike i magije pitagorejci su trosili 
vrijeme i energiju tragajuci za torn vezom. Za njih je posebno 
znacenje imala prva desetica. Prema pitagorejcima brojevi 4, 6, 8, 
9, 10 su nastali kao rezultat mnozenja nekim od brojeva 2, 3, 4, 
5: 

2-2 = 4, 2-3 = 6, 2-4 = 8, 2-5 = 10, 3-3 = 9. 

Mnozenje kao operacija oplodivanja davala je brojevima 
2, 3, 4, 5 snagu plodnosti, a brojevima 4, 6, 8, 9, 10 snagu 
"porodenoga" . 

Takav pristup proucavanju brojeva sa primjesama magije 
doveo je poslije Pitagorine smrti do sukoba medu pitagorejcima te 
se stvaraju dvije struje. Spor je nastao kada je trebalo odrediti koji 
je broj rezultat "bracnog spajanja". Jedni su smatrali da je to broj 
5, jer je on zbir najmanjeg zenskog i najmanjeg muskog broja: 
5=2+3; drugi su isticali da je to broj 6, jer je on proizvod 
najmanjeg zenskog i najmanjeg muskog broja: 6 = 2-3. 

Od jedan do Prva saznanja iz teorije brojeva 

beskonacno Pitagorejci su najvjerovatnije preuzeli od 

sljedbenika Jonske skole, koju je osnovao 

Tales (oko 624-547. p.n.e.). Prva sistematska izlaganja iz teorije 

brojeva dao je Euklid u svojim Elementima. 

U starom vijeku je uoceno da prirodnih brojeva ima 
beskonacno mnogo; Platon je govorio da prirodnim brojevima 
nema kraja. Arhimed (287-212. p.n.e.) je u svojoj raspravi 
Pjescanik dokazivao vladaru Sirakuze da broj svih zrnaca pjeska 
sadrzanih u kugli koja obuhvata cijeli svemir nije beskonacan 
nego da se moze izracunati. 



41 

Stari narodi su nastojali pomocu velikih brojeva izraziti 
postovanje i poniznost prema svojim bozanstvima. Tako se kod 

Indusa u epu Mahabharata govori o 24 • 1 bogova kao i da je 

Buda imao 6-10 sinova, dok se u jednoj narodnoj pripovijeci 

prica o ratu u kojem je ucestvovalo 1 majmuna. 

Grcki matematicar Anaksagora (oko 500-428. p.n.e.) istice da 
uvijek "postoji nesto vece od onoga sto je veliko". 

Pitagorejci su pojam beskonacno vezivali za bozanstva i nisu 
ga proucavali smatrajuci da to smiju raditi samo bogovi. 

Indijski matematicar Bhaskara (1114-71185) je naslucivao da 
bi rezultat dijeljenja sa nulom trebao da bude beskonacan. 

Put do pojma beskonacno vodio je preko velikih brojeva. 
Tesko je sa odredenom tacnoscu reci kada su i gdje nastajali 
pojedini nazivi za velike brojeve. Tokom vremena oni su 
mijenjani dok se nije doslo do danasnjih naziva. Tako se oko 
1500. godine u rukopisu francuskog matematicara Sikea javlja 

rijec milion kao naziv za 10 , bilion za 10 , trilion za 10 
Rijec milion je prvi put odstampana 1494. godine u jednom radu 
italijanskog matematicara Luke Pacolija (1445-1514). Rijec 
milijarda javlja se pocetkom 16. vijeka. 

Interesantno je upoznati se sa nacinom zapisivanja velikih 

brojeva. Engleski matematicar Rekord (1510-1558) velike brojeve 

zapisuje grupisuci ih pomocu vertikalne crte 

I 230 I 864 I 089 I 01 5 I 340 I , dok neki matematicari to rade na 



sljedeci nacin 678 935 784 841 . Italijanski matematicar 
Fibonaci je umjesto crta koristio lukove iznad grupe od po tri 
broja. Takode, upotrebljavaju se zapete i oznake za akcente da bi 
se grupisale cifre velikih brojeva. 

Oznaku go za beskonacno uveo je engleski matematicar Valis 
1657. godine. 



42 



Racunanje sa beskonacnim velicinama ne podlijeze 
zakonima koji vaze za konacne brojeve. Tako je, na 
primjer, 

oo + 123456789 = oo oo-3 = oo 



00 

00 00 + 00 = 00 , 



987654321 



Euklid je u prvoj knjizi Elemenata izlozio aksiomu koja 
glasi: "Cjelina je veca od (svog) dijela" . Ova, na prvi pogled, 
jednostavna tvrdnja ne vazi za beskonacne skupove. 

Skup pozitivnih parnih brojeva 2, 4, 6, 8, 10, ... je dio 
(podskup) skupa prirodnih brojeva 1, 2, 3, 4, 5, ... Ako bi uvazili 
navedenu aksiomu, onda bismo mogli reci da je skup prirodnih 
brojeva veci od skupa pozitivnih parnih brojeva. Ovaj zakljucak 
je pogresan, jer radi se o beskonacnim skupovima. 




2 3 4 5... n... 

I II I I I 

4 6 8 10... 2n... 



Tacan odgovor je: pozitivnih parnih brojeva ima isto toliko 
koliko i prirodnih brojeva, jer svakom prirodnom broju n 
odgovara paran broj 2n, i obrnuto svakom parnom broju 2n na 
ovaj nacin moze da se pridruzi prirodan broj n. 

Stari Egipcani su imali znak (hijeroglif) za nulu, ali 
Nula kako njihov sistem pisanja nije bio pozicioni to 

ovaj simbol nije imao znacenje cifre. Vavilonci su 
u 2. vijeku p.n.e. prilikom zapisivanja brojeva u sezdeseticnom 
sistemu imali znak za nulu i koristili su ga samo na kraju broja. 



Iako nula ne spada u skup prirodnih brojeva misljenja smo da je dati 
sadrzaj prikladnije izloziti na ovom mjestu nego u okviru izlaganja o cijelim 
brojevima. Pogotovo sto je ovdje vise rijec o nuli kao cifri nego kao broju. 



43 
Vidjeli smo da su Maje imali znak za cifru nula: 



Taj simbol nije predstavljao nulu kao broj. Slicno je bilo i 
kod drugih naroda koji su upotrebljavali pozicioni sistem 
zapisivanja brojeva. Tako, na primjer, da bi se zapisao broj tri 
stotine pet trebalo je u zapisu naznaciti da taj broj nema desetica 
te se izmedu stotina i jedinica stavljao neki znak da bi se 
"popunilo prazno mjesto". Dakle u pocetku nula je bila samo znak 
za nista, a oznacavana je tackom (Indija), kruzicem koji podsjeca 
na slovo o (Arapi); aleksandrijski astronom Ptolemej (oko 150. 
godine nove ere) koristi slovo O (omikron) - prvo slovo grcke 
rijeci nista U kineskim rukopisima prazno mjesto je bilo naznaka 
za nulu. Danasnji simbol za nulu je indijsko-arapskog porijekla. 
Najstariji pisani dokument sa znakom za nulu potice iz 9. vijeka. 

Indijci su nulu nazivali sunja sto znaci prazno. Ovaj naziv 
Arapi su izgovarali kao sifr da bi se kasnije ta rijec 
transformisala u cifra. Rijec cifra je bila naziv za nulu sve do 
druge polovine 16. vijeka da bi se od tada upotrebljavala kao 
naziv za sve znamenke. Pa ipak neki matematicari 16. i 17. 
vijeku recju cifra su nazivali nulu. 

Ovo je samo jedan primjer koji ukazuje koliko je vremena 
potrebno da bi se neki pojam transformisao od svog nastanka do 
konacnog (danasnjeg) znacenja. 

Za grckog matematicara Nikomaha nula nije broj: 

"Broj jedan s jedne strane nema susjeda." 

I grcki matematicar Diofant nije shvatao nulu kao broj. Za 
njega jednacina 12x+10=3x+10, cije je jedinstveno resenje 0, 
nema resenja. Ovakvo shvatanje nalazimo sve do 16. vijeka kada 
se nula pocinje interpretirati kao razlika dva jednaka broj a. Tek 
pojavom Dekartove Geometrije (1637) nula je postala ravnopravna 
sa ostalim brojevima. 



44 



Koliko je 

1-1 + 1-1 + 1-1 + ...? 

Ovo pitanje se javlja u 17. vijeku i prijetilo je da 
uzdrma zgradu matematike. 

Ako navedeni "zbir" prikazemo 

(1-1) + (1-1) + (1-1) + . .. = + + + ..., 

onda je njegova vrijednost 0. Ali, ako brojni izraz 

1-1 + 1-1 + 1-1 + .. . 
pisemo 

1- (1-1)- (1-1)- (1-1)-... = 1-0 -0-0-..., 

onda je zbir jednak 1 . Postojala je i treca grupa 
matematicara, koja je bila za "kompromis" i 
predlagala je da trazeni zbir ne bude ni ni 1 nego 
da se on nalazi negde na "sredini" tj. da iznosi V2. 

Saznanje da vrijednost izraza zavisi od toga kako 
demo ga transformisati prijetilo je da dovede u 
sumnju cijelu matematicku zgradu, koja je 
izgradivana hiljadama godina. Na izgled jednostavno 
pitanje prijetilo je da unisti nesto sto je do tada 
izgledalo stabilno i postojano. 

Ovaj problem je zadavao velike poteskoce 
mnogim matematicarima i istovremeno izazivao 
interesantne rasprave. Tek kada se pojam 
beskonacnosti poceo sistematicnije izucavati doslo se 
do odgovora. Trazeni "zbir" nije nijedan od dobijenih 
rezultata, jer zbir se moze odrediti samo za konacno 
mnogo sabiraka. 



45 
4. RAZLOMCI 



Razlomci nisu nastali kao rezultat racunske operacije 
dijeljenja nego se pojavljuju kao posebne kategorije brojeva koje 
karakterisu odredeno kvantitativno svojstvo jednog dijela 
posmatranog realnog objekta. 

Pojam razlomka je prvo izrazen u pojmu tzv. prirodnih 

112 1 3 

razlomaka: —,— ,— ,— i — . Kod starih civilizaciia za ove 
2 3 3 4 4 

razlomke su postojali posebni znaci i nazivi. U pocetku oni nisu 

imali veze sa simbolima i nazivima prirodnih brojeva. 

Egipcani su veoma rano upoznali prirodne 
Egipat razlomke, da bi kasnije upotrebljavali samo 

1 

osnovne razlomke, tj. razlomke oblika — . Ostale 

n 

razlomke su predstavljali pomocu osnovnih razlomaka. Tako u 
Rajndovom papirusu, pisanom oko 1650. godine prije nove ere, 

2 

nalazimo tablicu u kojoj su razlomci oblika , za 

2n + 1 

n=2,3,4,...,50, razlozeni na osnovne razlomke. 



1 1 



G Primjer. 










21 1 . 
5~3 + 15' 


2 

7" 


1 1 . 

~4 + 28' 


2 
29" 


11 
~24 + 58 



174 232 



Nije nam poznato na koji nacin 
su vrsena razlaganja obicnih 
razlomaka na osnovne razlomke, ali 
je sigurno da su Egipcani imali 
izgraden postupak za njihovo 
izracunavanje. 



Egipcani su koristili 
poseban simbol za 

2 V 

razlomak — : / 

3 ° 



46 

Jedan od razloga zasto su Egipcani koristili samo osnovne 
razlomke vjerovatno je i taj sto nisu pronasli pogodnu simboliku 
za zapisivanje razlomaka. Osnovne razlomke su oznacavali tako 
sto su pisali samo imenilac i iznad njega stavljali poseban znak u 
obliku ovala: *=> 



A"' = 1 

Mil 15 



Osnovne razlomke demo oznacavati tako da umjesto 
egipatskog znaka u obliku ovala stavljamo crticu. Tako, na 

111 
primier, razlomke — , — , — cemo redom oznacavati 

_____ 10 17 36 

10,17,36. Jedini izuzetak kod ovakvog zapisivanja osnovnih 

1 2 

razlomaka je broj — koji je kao i — imao svoj posebni simbol. 
_ . o 

Ako je trebalo zapisati rezultat dijeljenja 2 sa 17, onda se 

2 111 

razlomak — predstavliao kao zbir razlomaka: 1 1 , ili 

17 12 51 68 

prema egipatskom nacinu pisanja imenioci osnovnih razlomaka su 
ispisivani jedan do drugog, a iznad svakog od njih stavljana je 
crtica: 

— = 12 51 68. 

17 

Vavilonci su i pri pisanju razlomaka upotrebljavali 
sezdeseticni pozicioni sistem. Na primjer, broj — pisali 

5 

1 
su tako sto bi prvo osnovni razlomak — pretvarali u sezdeseticni 

5 

12 36 

razlomak — i zatim ga povecali tri puta: — . 
60 s P P 60 



47 

Kao sto smo ranije izlozili, vavilonski zapis ^V se mogao 

11 
interpretarali kao 11 ili 11 X 60 ili . Po prirodi konkretnog 

zadatka odredivalo se o kojem se broju radi. Ovakav nacin 
zapisivanja brojeva omogucavao je Vaviloncima da ne prave 
sustinsku razliku izmedu razlomaka i prirodnih brojeva. 



Grci razlomke nisu smatrali brojevima, jer u osnovi 
Grcka njihovog shvatanja broja bila je teza o nedjeljivosti 

jedinice. Pa ipak, problemi nastali u svakodnevnom 
zivotu i praksi su ih upucivali na upotrebu razlomaka. Oni su u 
prakticnom racunanju primjenjivali egipatske osnovne razlomke, a 
u ostalim slucajevima vavilonski sezdeseticni pozicioni sistem. 
Nije bio rijedak slucaj da su za oznacavanje razlomaka koristili i 
oznake koje su bile u skladu sa njihovim oznakama za prirodne 
brojeve. 

Na primjer, razlomak — su pisali A , dok je razlomak — 

imao oznaku r . 

Usavrsavajuci egipatski nacin racunanja sa razlomcima Grci 
su uocili da se oni mogu jednostavnije sabirati, ako se svi sabirci 
svedu na jednake imenioce. Operaciju sabiranja razlomaka nazivali 
su spajanje. 

Jos su pitagorejci upotrebljavali ne samo osnovne razlomke 

4 

vec i razlomke gde je brojilac veci od imenioca. Za razlomke — i 

9 . 4 . , .9 

— su imali posebne nazive; — su nazivali "velika trecina", a — 
8 3 8 

"velika osmina". 



48 

U Indiji se od 7. vijeka razlomci oznacavaju na 

slican nacin kao sto se to i danas cini ali bez 
Indija 3 

razlomacke crte. Tri osmine su pisali , a mjesoviti 

8 

3 4 

broj 4 — zapisivan je 3 . Na ovaj nacin razlomke su pisali 
8 8 

Brahmagupta (oko 628) i Bhaskara (oko 1150). U Grckoj je 
pronaden jedan matematicki spis iz 1. vijeka nove ere gdje se 
razlomci pisu na slican nacin. 

Indijci su veoma dobro racunali sa razlomcima. Oni su i 
cijeli broj, ako bi se pojavio sa razlomcima, smatrali razlomkom 
ciji je imenilac 1 . 

„. Rimljani, koji su u matematici bili ucenici Grka, 

zapisivali su razlomke sa osnovom 12. 
Izbjegavali su pisanje razlomaka pomocu simbola. Koristili su 
posebne nazive za razlomke: 

11111 1 

24' 36' 48' 72' 144' 288' 

Kinezi nisu imali posebne oznake za razlomke 

nego su ih pisali rijecima. Tako, na primjer, 
Kina m 

razlomak — su pisali "n ispod m . Za neke 

n 

razlomke su imali posebne znakove kao i posebne nazive. Tako su 

1 1 2 

broj — nazivali polovina, — - mala polovina, a — - velika 
£ 3 3 

polovina. 

U cuvenom kineskom djelu Matematika u devet knjiga 

izlozene su racunske operacije sa razlomcima. Razlomke su 

sabirali tako da su ih svodili na zajednicki imenilac koji je bio 

jednak proizvodu imenilaca sabiraka. Takode, Kinezi su znali 

dijeliti cijeli broj razlomkom. Poznavali su i pravila za skracivanje 

razlomaka. 



49 

Deseticni razlomci se prvi put javljaju u Kini kao rezultat 
deseticnog sistema mjera, koji se u Kini upotrebljava od 2. vijeka 
p. n. e. Interesantno je da su evropski matematicari prihvatili 
deseticne razlomke tek u 16. vijeku. 

Arapski matematicar al-Horezmi je u svom djelu 

Arnni Aritmetika sabrao i sredio mnoga znanja o 

razlomcima. Za razlomke sa brojiocem 1 , i to od 

11. 

— do — , koristi posebne nazive. Ostali razlomci su iskazivani u 

2 10 

1 3 

drugom obliku; na primjer, — je dio od trinaest dijelova, a — 

i o I / 

su tri dijela od 17. Al-Horezmijeva Aritmetika, gdje su razlomci 
predstavljani u sistemu sa bazom 60, je izvrsila veliki uticaj na 
evropske matematicare. 

Drugi arapski matematicar Abu-al-Vafa (10. vijek) je izvrsio 
klasifikaciju razlomaka: 

1 

1 . Razlomke oblika — , gdje je 

n 

n=2,3,4...,10, naziva glavnim; 

m 

2. Razlomke oblika — , gdje je m<n<10, 

n 

naziva sastavnim; 

3. Razlomke koji se mogu izraziti kao 
proizvod glavnih razlomaka naziva 
sjedinjenim. 

One razlomke koji se mogu izraziti kao zbir ili proizvod 

1 
razlomaka oblika — , gdje je 1<n<10, naziva izrazivim, a ostale 

n 

neizrazivim. 



50 

Arapi su usavrsili tehniku racunanja sa razlomcima; 
zahvaljujuci njima u Evropu je dospjelo sistematizovano ucenje o 
razlomcima. U torn smislu treba spomenuti al-Kasijevu knjigu 
Kljuc aritmetike (15. vijek), koja je bila jedan veoma dobar vodic 
kroz elementarnu matematiku. 

Arapi su uveli razlomacku crtu, koja se u Evropi pojavila 
zahvaljujuci Italijanu Leonardu iz Pize, poznatijem kao Fibonaci 
(sin Bonaca). On je koristi u svom cuvenom delu Knjiga o abaku 
(1202). U nekim knjigama stampanim tri vijeka kasnije 

2 

razlomacka crta se izostavlja te se, na primjer, razlomak — pise 

2 

. Osim razlomacke crte cesto se koristio i simbol : te se, na 
3 

primjer, broj tri cetvrtine zapisuje 3 '. 4 . 

U periodu renesanse bilo je uobicajeno da se razlomci pisu i 
pomocu rimskih cifara; na primjer, devet jedanaestina je 
zapisivano 

IX 

xl" 



Evropa od ^ periodu od 14. do 16. vijeka deseticni 
1 , . razlomci se sve cesce pojavljuju u djelima 

vl J eKa pojedinih autora. Neki od njih isticu da se do 

deseticnih razlomaka moze doci "ako se jedinica podijeli na deset 
jednakih djelova, a svaki taj deseti dio se dalje dijeli na deset 
jednakih dijelova itd". Evropski matematicari su poceli ne samo 
da prihvataju i proucavaju arapsko ucenje o brojevima nego i da 
doprinose njegovom daljem razvoju. Iz ovoga perioda posebno 
treba istaci flamanskog matematicara i inzenjera Simona Stevina 
koji je u djelu Deseta (1585) uveo deseticne razlomke i izlozio 
koliko su oni u primjenama prakticniji od drugih razlomaka. Ovaj 
rad je predstavljao osnovu za unifikaciju cjelokupnog sistema 
mjera na deseticnoj osnovi. 



51 



Interesantno da 150 godina prije Stevinove knjige al-Kasi u 
djelu Kljuc aritmetike izlaze ucenje o decimalnim brojevima. Ova 
knjiga je dugo ostala nepoznata te Stevin nije mogao znati za nju. 

Pravila za mnozenje razlomaka bila su poznata evropskim 
matematicarima srednjeg vijeka. Sve do Stifela (oko 1486-1567) 
dijeljenje razlomaka izvodilo se tako sto su prosirivani sve do 
dovodenja na jednake imenioce. Na taj nacin dijeljenje razlomaka 
se svodilo na dijeljenje brojilaca. 



□ Primjer. 

2.4 
7'5 



2-5.4-7 
7^5'5^7 



10.28 
35 '35 



10:28 .a 



Naravno, do novih saznanja se dolazilo sporo i poslije 
mnogo diskusija, prepiski pa i sukoba. Neke cinjenice nisu bile 
odmah prihvacene, jer su se protivile dotadasnjim saznanjima i 
iskustvima. 



Danas je jasno da je proizvod razlomaka 

1.2 , 

— i — manji od svakog od datih cinilaca: 

o o 



1 2 2 


2 1 


2 2 


— . — — — • 


— < — 


i — < — 


3 5 15 


15 3 


15 5 



Mnoge evropske matematicare srednjeg 
vijeka je zbunjivala ova cinjenica pa su joj 
pripisivali i misticno znacenje. To je 
vjerovatno bila posljedica znanja o mnozenju 
prirodnih brojeva, gdje je proizvod veci ili 
jednak od svakog cinioca. 



52 



Uvodenje pozicionog sistema brojeva je doprinijelo daljoj 
izgradnji decimalnih razlomaka. Vec u 15. vijeku javljaju se 
tablice u kojima se koriste decimalni razlomci. U periodu od 15. 
do 16. vijeka decimalni razlomci su sve prisutniji u matematickim 
knjigama. 

Tek poslije objavljivanja Stevinovog djela Deseta, decimalni 
razlomci se pocinju u vecoj mjeri primjenjivati u Evropi. Skotski 
matematicar Neper (1550-1617) je zasluzan za konacno 
uoblicavanje nacina pisanja deseticnih razlomaka. On je, pored 
ostalog, uveo deseticnu zapetu. Prije toga, na primjer, Stevin 

deseticni razlomak 2,856 pise 2856®, dok engleski matematicar 

Rudolf (16. vijek) za isti broj ima svoju notaciju: 2 | 856. 

Uvodenjem decimalnih razlomaka zavrsen je proces izgradnje 
deseticnog pozicionog brojevnog sistema. 



Zan de Mer (16. vijek) navodi da se 

V2 moze napisati kao 1414 ako se 
prvi broj smatra cijelim, a naredni 
brojevi kao deseti dijelovi prethodnih. 



Rijec procent potice od latinskih rijeci pro centum sto 
Procent znaci "od stotine". U 15. vijeku procenti su zapisivani 

na razlicite nacine. 
20% se pisalo: 



"20 p 100" ; "XX. p. c." m "XX. p cento". 

Pretpostavlja se da danasnji znak za procent potice iz jednog 
anonimnog italijanskog rukopisa iz 1425. godine. 



53 



5. CIJELI BROJEVI 

Oduzimajuci Negativni brojevi se prvi put javljaju u 

. . • Kini u osmoj knjizi djela Matematika u 

devet knjiga (oko 200. godine prije nove 

ere). Kinezi pozitivne brojeve nazivaju pravilnim, a negativne 

dugom, nedostatkom, odnosno laznim brojevima. 

Evropski matematicari starog vijeka pod brojem podrazumi- 
jevaju samo pozitivne cijele brojeve. Za njih negativni brojevi nisu 
ravnopravni sa prirodnim brojevima te ih nazivaju nepravi, lazni 
pa cak i besmisleni brojevi. Ako bi, na primjer, od 5 trebalo 
oduzeti 8, onda oni nisu znali izracunati razliku tih brojeva, a in- 
tuitivno su osjecali da bi ona trebala biti broj. U torn slucaju 
rezultat oduzimanja je prikazivan kao brojevni izraz 5-8. 

Grcki matematicar Diofant je u skladu sa tadasnjim razvojem 
matematike pod pojmom broj podrazumijevao samo cijele 
pozitivne brojeve. To mu nije smetalo da u praksi racuna sa 
pozitivnim razlomcima kao i sa negativnim brojevima. Za njega je 
jednacina 4x+20=0 besmislena, jer je resenje negativan broj. On 
pozitivne brojeve naziva brojevi za sabiranje (sabirajuci brojevi), a 
negativne - brojevi za oduzimanje (oduzimajuci brojevi) i navodi 
pravila za njihovo mnozenje: 

Broj za oduzimanje pomnozen s 
brojem za oduzimanje daje broj za 
sabiranje; broj za oduzimanje 
pomnozen s brojem za sabiranje 
daje broj za oduzimanje. 

Svakodnevna ljudska djelatnost je dovodila do saznanja da je 
potrebno istaci suprotnosti izmedu imetka i duga, smjera napred i 
nazad i si. Tako, na primjer, indijski matematicar Brahmagupta (7. 
v.) pozitivne brojeve predstavlja kao imetak, a negativne kao dug 
te navodi pravila za sabiranje: 



54 

Zbir dva imetka je imetak, dva duga 
- dug, imetka i duga - njihova 
razlika, a ako su jednaki - nula. 
Zbir nule i duga je dug, imetka i 
nule - imetak, a dvije nule - nula. 

Kod pravila za oduzimanje negativnih brojeva Brahmagupta 
govori o manjim i vecim negativnim brojevima misleci pri tome 
na njihove apsolutne vrijednosti. 

Indijski matematicar Bhaskara (12. vijek) negativan broj 
oznacava tako da iznad njega stavlja tacku. On je dao pravila za 
mnozenje i dijeljenje negativnih brojeva: 

Proizvod dva imetka Hi dva duga je 
imetak, proizvod imetka i duga je 
dug, a tako isto je i u dijeljenju. 

Prosirujuci ova pravila i na kvadratne korijene, on istice nji- 
hovu dvoznacnost: 

"Imetak ima dva korijena: 
jedan imetak, a drugi dug" 

Ako se izuzme Diofant, moze se reci da Grci nisu znali za 
negativne brojeve. To je jedan od glavnih razloga sto Arapi, koji 
su najvecim dijelom slijedili grcku matematiku i grcko ucenje o 
brojevima, nisu prihvatali racunanje sa pozitivnim i negativnim 
brojevima. Spominjanje negativnih velicina u arapskoj mate- 
matickoj literaturi se nalazi jedino kod Abu-al-Vafa (10. v.), koji 
je do tih saznanja najverovatnije dosao proucavajuci indijske 
matematicke zapise. 

Ovo je jedan od razloga sto Arapi ucenje o negativnim bro- 
jevima nisu donijeli u Evropu kao sto su to ucinili sa mnogim 
saznanjima grcke matematike. Trebalo je cekati da u srednjem vi- 
jeku dode do razvoja trgovine i pomorstva kao i do otkrivanja no- 
vih puteva na Istok pa da u Evropu dospije ucenje o negativnim 
brojevima. 



55 

Pojava negativnih U 12. i 13. vijeku u Italiji nastaju 

, 1-- • trgovacki gradovi (Denova, Veneciia, 

brojeva u Evropi _? „. . , . ^ , . , t . 

J r Firenca, Piza i dr.). Dolazi do putovanja 

na Istok radi trgovine. Istovremeno je prisutna i zelja da se 

upozna nauka i umjetnost azijskih civilizacija. 

Jedan od prvih italijanskih trgovaca koji je pokazao interes 
za matematiku bio je Fibonaci. Putovao je po sredozemnim 
zemljama gdje je bio pod uticajem vizantijskog i arapskog mate- 
matickog nasljeda. Po povratku sa tih putovanja objavljuje mate- 
maticke radove. Zahvaljujuci njemu u Evropi, prva polovina 13. 
vijeka, nailazimo na prve znacajnije tragove o negativnim bro- 
jevima. Fibonaci u Knjizi o abaku rjesava sistem jednacina i zak- 
ljucuje da je on nerjesiv jer je jedno rjesenje dug (negativni broj). 

Kako se upotreba negativnih brojeva u konkretnim racunskim 
problemima nije mogla izbjeci to oni bivaju sve vise prisutni u 
djelima evropskih matematicara. Sve smjelije se operise sa nega- 
tivnim brojevima. Javljaju se matematicari koji smatraju da su 
negativni i pozitivni brojevi ravnopravni. Francuski matematicar 
Sike (oko 1500. godine) broj 20 rastavlja na dva sabirka: 

27— i -7 — 

11 11 

naglasavajuci da neki matematicari ovaj drugi broj smatraju 
nemogucim. Stifel (prva polovina 16. vijeka) negativne brojeve 
naziva apsurdnim i istice da su oni manji od nule, te da se nula 
nalazi desno od njih. 

Drugaciji pristup negativnim brojevima imao je cuveni 
francuski matematicar Vijet (16. vijek); on ih ne priznaje za 
rjesenja jednacina. 

Do afirmacije negativnih brojeva dolazi tek u 17. vijeku 
zahvaljujuci radovima dvojice matematicara: Zirara i Dekarta. Oni 
su uveli slovo kao oznaku za broj. To je omogucilo lakse usva- 
janje pojma negativnog broja. Dekart smjesta negativne brojeve na 
brojevnu osu lijevo od nule. Na taj nacin ih tretira ravnopravno sa 



56 



pozitivnim brojevima. Do potpune ravnopravnosti negativnih i 
pozitivnih brojeva dolazi tek pocetkom 19. vijeka. 



Njutn interpretira pozitivne i negativne bro- 
jeve kao velicine koje su suprotno orijentisane. 
Jednu orijentaciju naziva pozitivnom, a drugu 
negativnom. On, u skladu sa tim, imetak smatra 
pozitivnim, a dug negativnim brojem i sugerise 
da se pozitivne velicine oznacavaju znakom +, a 
da se ispred negativnih stavlja znak -. 



Zajedno sa nastankom negativnih brojeva mijenjao se i nji- 
hov naziv. Za jedne su bili besmisleni, oduzimajuci, fiktivni, ap- 
surdni brojevi, a za druge dug, manjak, da bi najzad dobili 

danasnje ime negativni bro- 
jevi. Nazivi pozitivan i 



Za matematicara Zirara (17. 
vijek) negativni korijeni 
jednacine se mogu predsta- 
viti "geometrijski kao kre- 
tanje natrag". 



negativan po prvi put se po- 
javljuju u radu jednog Vije- 
tovog ucenika. Za ove dvije 
vrste brojeva upotrebljavale 
su se i rijeci primitiv i afir- 
mativ. Tek u 19. vijeku 
termini pozitivan i negativan broj su postali opsteprihvaceni. 



. . , Zapisivanja negativnih brojeva kroz 

Zapisivanje istoriju bila su razlicita. Mnogi 

negativnih brojeva matematicari su ih prikazivali kao 

brojevne izraze. Na primjer, Diofant negativan broj -3 predstavlja 

u obliku razlike 5-8. 

Kinezi su pozitivne brojeve oznacavali crvenom bojom, a 
negativne crnom. Matematicar Li (13. vijek) negativne brojeve 
zapisuje tako sto precrtava posljednje znakove broja. 



57 

G Primjer. 

Broj 1 724 Li je zapisivao 

I0T= llll 

a broj -10 724: 

iOT =- m a 

Kod Indijaca su pronadeni zapisi u kojima su negativni bro- 
jevi pisani tako sto je iznad njegove cifre stavljana tacka. Znaci + 
i — ne dovode se u vezu sa negativnim brojevima prije 15. vijeka. 
Tek sa uvodenjem slova kao simbola za broj stvara se pogodno 
tlo za danasnji nacin zapisivanja brojeva. Tome je svakako do- 
prinijela interpretacija pozitivnih brojeva kao imetka, a negativnih 
kao duga. 

6. IRACIONALNI BROJEVI 

Dugo je trebalo da se iracionalni brojevi nastane u zgradu 

matematike. Za grcke matematicare v2 nije bio broj, nego ge- 
ometrijski omjer dijagonale i stranice kvadrata. Takode, iracionalni 

broj, koji danas oznacavamo sa 7C, nije bio nista drugo nego omjer 
obima kruga i njegovog precnika. U grckoj matematici broj je 
znacio prirodan broj iako su Grci u praksi racunali i sa razlom- 
cima i sa pribliznim vrijednostima korijena. Takav odnos prema 
iracionalnim brojevima bio je prisutan i u srednjem vijeku. Tek 
mnogo kasnije poceli su se omjeri nesamjerljivih duzi shvatati kao 
brojevi koji su "priblizno" poznati. 

Egipatski matematicari su se veoma rano sreli sa iracional- 
nim brojem; prilikom rjesavanja prakticnih geometrijskih problema 
nailazili su, pored ostalog, i na potrebu da izracunavaju povrsinu 
kruga. Umjesto iracionalnih koristili su racionalne brojeve kao nji- 
hove priblizne vrijednosti. 



58 

Vavilonski matematicari, kao i egipatski, se nisu posebno 
interesovali za prirodu iracionalnog broja. Bilo im je vazno da sto 
tacnije rijese prakticne zadatke. Pri tome su nailazili na problem 
kako da odrede pribliznu vrijednost iracionalnih brojeva. Da bi 
pojednostavili racunanje sastavljali su tablice mnozenja, 
reciprocnih vrijednosti, kvadrata te kvadratnih i kubnih korijena. 
Za odredivanje pribliznih vrijednosti kvadratnog korijena pronasli 
su postupak (algoritam) koji se zasnivao na primjeni formule 



V?±b*a± b 



2a 



G Primjer. 



V1700 =V1600 + 100=V40 2 +100*40 + ^5_ = 41- 

2-40 4 



Bilo bi pogresno iz naprijed izlozenog zakljuciti da su 
Egipcani i Vavilonci znali za pojam iracionalnog broja. Oni su 
uslijed nepoznavanja iracionalnih brojeva nailazili na teskoce pri 
rjesavanju problema iz prakse. Istovremeno, iskustva iz dotadasnje 
prakse upucivala su ih da se i novi slicni problemi mogu rijesiti 
pomocu racionalnih brojeva cija je vrijednost priblizno jednaka 
vrijednosti konkretnog iracionalnog broja. 



Egipcani su dosli do saznanja da je povrsina kruga 
priblizno jednaka povrsini kvadrata cija je stranica 



8 . „ (8 a 



precnika tog kruga: P= 



2r 
9 



, gdje je r poluprecnik 



J 



kruga. Kako je povrsina kruga P-r TT to se iz ove dvije 

8 



jednakosti dobije i 



TT 



(Q. \ 2 

2r 
9 



, odnosno TT -3,16. 



59 



Arhimed za odredivanje 
priblizne vrijednosti 

iracionalnog broja \/3 
koristi nejednakosti: 

1351 nr 265 

<V3<- 



780 



133 



Grci su brojeve interpretirali 
koristeci geometrijske velicine. 
Ako, na primjer, duz AB sadrzi 
cetiri puta duz CD, onda je odnos 
izmedu duzi AB i CD izrazen 
brojem 4. Ako duz CD smatramo 
jedinicom, onda je duzina duzi 
AB jednaka 4. 

Na slican nacin mogu se 



odrediti duzi ciji je omjer izrazen razlomkom. Na primjer, broj — 

se moze predstaviti pomocu duzi cije se duzine odnose kao 3:2. 
Ovakav nacin razmatranja naveo je grcke matematicare na 
pogresan zakljucak da se omjer bilo koje dvije duzi moze 
predstaviti razlomkom. Kasnije su otkrili da se omjer duzine 
dijagonale kvadrata i duzine njegove stranice ne moze izraziti 
razlomkom ili, drugacije receno, duzina dijagonale kvadrata se ne 
moze izmjeriti njenom stranicom. 

U ovom slucaju omjer se ne izrazava ne pomocu dva 
prirodna broja nego pomocu beskonacnog niza prirodnih brojeva, 
koji zapravo predstavljaju iracionalan broj. 

Broj a/2 je iracionalan broj koji se moze predstaviti kao 
beskonacan razlomak: 



V2 =1 



1 



Uobicajeno je, narocito u nastavi matematike, da se 
iracionalni brojevi predstavljaju racionalnim brojevima cija je 
vrijednost priblizno jednaka vrijednosti tog iracionalnog broja. 



60 





Italijan 


Pjetro 


Kataldi (17. 


vijek) 


je broj 


V2 


predstavio razlomkom: 










V2 = 


1 

1 + 












1 

2 + 

1 

2 + 

1 

2 + - 
2 






koji 






je 




zapisao 


V2 = 


-l.A±. 

2 


2 2 


2 







Iz Kataldijevog prikaza broja v2 moze se 
odrediti njegova priblizna vrijednost: 

>/2 »1 + — 1— = 1 + — 1— =1 + — =1,4 

1 4+1 5 



Grci su se u rjesavanju prakticnih zadataka rano susreli sa 
iracionalnim brojevima. Interesantno je da su za njihovo otkrice 
najvise zasluzni upravo Grci, odnosno, tacnije receno, pitagorejci. 
Oni su naslutili prirodu iracionalnog broja rjesavanjem zadataka iz 
teorije muzike kao i prilikom odredivanja omjera stranice i 
dijagonale kvadrata. Zapazili su da se omjer duzine dijagonale i 
stranice kvadrata ne moze izraziti prirodnim brojevima; ove duzi 

su nazivali nemjerljivim. Na taj nacin su dosli do omjera V2 : 1 , 

dnosno broja v2 . 



U Vavilonu je pronadena glinena 
plocica na kojoj je nacrtan kvadrat sa 
dijagonalama i napisana priblizna 

vrijednost broja V2 u sezdesetic- 
nom sistemu (si. 27). 




SI. 27. 



61 



Radovi grckih matematicara Eudoksa (?408-?355) i Euklida 
(?365-?300) su bili od velikog znacaja za izgradnju teorije 
iracionalnih brojeva. Euklid je u Elementima izlozio sva 
dotadasnja saznanja o iracionalnim brojevima. 

Kineski i indijski matematicari su nailazili na probleme 
vezane za iracionalne brojeve rjesavajuci prakticne i teorijske 
zadatke. I oni su tragali za algoritmima pomocu kojih ce dobiti 
sto tacnije priblizne vrijednosti iracionalnih brojeva; Indijci su, na 
primjer, odredivali vrijednost broja TC pomocu beskonacnih 
brojevnih redova. 

Arapski matematicari su se susretali sa iracionalnim 
brojevima rjesavajuci mnogobrojne probleme iz trigonometrije i 
geometrije. Takode, upoznajuci se sa Euklidovim Elementima, 
prihvatili su Eudoksovu teoriju razmjera kao interpretaciju 
iracionalnosti duzima i pravougaonicima. U peroidu od 10. do 12. 
vijeka mnogi arapski matematicari su dali doprinos daljem razvoju 
pojma iracionalnog broja. Spomenimo samo neke od njih: al- 
Biruni, al-Nairizi, Sabit ibn Kora i Omar Hajam. 

Evropski matematicari srednjeg vijeka iracionalne brojeve 
nazivaju zamisljenim, nijemim ili neizrazivim brojevima zeleci i 
na ovaj nacin istaci razliku izmedu njih i racionalnih brojeva. U 
12. vijeku za ove brojeve se koristi naziv numeri irationales. 
Stifel 1544. godine u svom djelu Arithmetica integra upotrebljava 
izraz iracionalni brojevi, ali i on tvrdi da to nisu pravi brojevi. 

U 15. vijeku za iracionalne brojeve se zanima italijanski 
matematicar Luka Pacoli. Dekart je prvi ispravno shvatio sustinu 
iracionalnog broja. On istice da je broj "sve sto se odnosi prema 
jedinici kao jedna duz prema drug of . Interesantno da i on ove 
brojeve naziva neizrazivim. Kasnije ce engleski matematicar i 
fizicar Njutn (1707) razraditi Dekartovu definiciju iracionalnog 
broja. 

Bilo je matematicara ciji se pristup pojmu iracionalnog broja 
razlikovao od drugih. Tako, na primjer, francuski matematicar 



62 

Dalamber (18. vijek) istice da se v2 moze interpretirati samo 
geometrijski. 

Savremena teorija iracionalnih brojeva dobija svoju konacnu 
formu tek u 19. vijeku u djelima Vajerstrasa, Kantora i 
Dedekinda. 

7. KORJENOVANJE 

Egipcani su znali za kvadratni korijen. Imali su i posebnu 
oznaku za njega. U jednom papirusu, koji potice iz starog Egipta, 

(25 
nalazi se sistem jednacina gdje se broj J — javlja kao rjesenje. 

Ovo nam nagovjestava da su Egipcani imali predstavu o 
kvadratnom korjenu te je veoma vjerovatno da su to svoje znanje 
primenjivali i na slucajeve kad podkorjena velicina nije kvadrat 
cijelog broj a. 

Vavilonci su pronasli postupak za odredivanje vrijednosti 
kvadratnog korijena. Posjedovali su tablice za kvadratni i kubni 
korijen napisane u sezdeseticnom brojevnom sistemu. Za 
izracunavanje priblizne vrijednosti kvadratnog korijena koristili su 
odredene algoritme. Jedan od njih se zasnivao na vec navedenoj 
formuli 



4a^b b 



a 
2a 

koja je bila poznata grckom matematicaru Heronu (oko 100. 
godine nove ere) kao i indijskim matematicarima Ariabhati (1. 
vijek nove ere) i Brahmagupti (7. vijek). 



G Primjer. 



/71 = V64 + 7 * 8 + — = 8,4375 , 

2-8 



95 = V1 00 - 5 * 1 - -^— = 9,75. □ 

2-10 



63 



Vavilonci su za izracunavanje kvadratnog korijena koristili 
metodu iteracije. Na Jelskom univerzitetu se cuvaju glinene 
plocice sa klinastim pismom iz 17. vijeka p.n.e. na kojima je 
izlozen postupak odredivanja dijagonale kvadrata stranice 30. 

Arapskom matematicaru al-Karadziju (10/11. vijek) pripisuje 
se sljedeca metoda za odredivanje kvadratnog korijena: 

2 

/N=a+ " J . , a 2 <N<(a + l) 2 . 



N-a' 
2a + 1 ' 

Primjer. 

V71 =V64 + 7 =8 



71-64 
2-8 + 1 



8,412. 



Kvadratni korijeni nekih prostih brojeva bili su poznati i 
Indijcima. Oni su, vec u 8. vijeku, prilikom gradnji hramova 
primjenjivali specijalne slucajeve Pitagorine teoreme. Takode, 
koristili su priblizne vrijednosti: 

12 408 



V2: 



U 5. vijeku indijski matematicar Ariabhata II je izgradio 
metodu izracunavanja kvadratnog korijena dijeleci podkorjenu 
velicinu na grupe od po dvije cifre. 

Arapski matematicari su oko 850. godine ovu metodu 
usavrsili sa ciljem da dobiju tacnije priblizne vrijednosti, a u 12. 
vijeku izracunavaju i korijene viseg stepena. 

Sve do pred kraj 15. 
vijeka bilo je razlicitih 



naziva za kvadratni korijen 
kao i za njegovo obiljeza- 
vanje. Nikomah za kvadratni 
korijen upotrebljava rijec 
polazni broj. U Indiji se 
koristi rijec karana; oznaka 
ka 3 znaci V3 . 



Dubrovacki matematicar Marin 
Getaldic (16. vijek) pored 
simbola -J za korijen koristi 

i oznaku L.V. sto dolazi od 
latinskih rijeci latus universale. 



64 



U latinskom jeziku radix je naziv za korijen te Fibonaci za 
oznacavanje korijena koristi veliko pocetno slovo ove rijeci: R . 

Rudolf (1505) upotrebljava V kao znak za korijen sto je ustvari 
transformisano latinsko slovo f. On uvodi pravilo za udvajanje 

korijena prema kojem bi se danasnja oznaka v4 pisala V v 4 . 
Ovakav nacin oznacavanja korijena koristi i matematicar Stevin. 

Oznake za korijen su vremenom pretrpjele odredene izmjene, 
te su postajale funkcionalnije. Tako, na primjer, Zirar je V4 

oznacavao v4 sto se i danas moze naci u nekim matematickim 
knjigama. 

Danasnju oznaku za korijen uveo je Dekart, koja se najzad 
ustalila zahvaljujuci Njutnu. 



V. 2- 


Dekart 


a/2 


V.p 


Stevin 


f 


VqqA 


Outred 


Va 


R 38 


Fibonaci 


V38 


RR7 


Pacoli 


V7 


R cuba de 7 


Leonardo da Vinci 


3 V7 


R 3 11 


Sike 


m 


L.V. A 


Getaldic 


Va 



Operacije sa korijenima, mada u primitivnijem obliku, 
nlazimo vec kod Fibonacija. U 15. i 16. vijeku dolazi do daljeg 
usavrsavanja operacija sa korijenima. Za to su najzasluzniji 
matematicari Rize, Stifel i Rudolf. 



65 



8. DJELJIVOST 

Prva sistematizovana saznanja o djeljivosti brojeva dao je 
Euklid u sedmoj knjizi Elemenata gdje, pored ostalog, ispituje 
djeljivost i svojstva prostih brojeva, kvadrata, kubova i uopste 
stepena brojeva. 

Izlaganja u sedmoj knjizi Elemenata zapocinje definicijama: 

(i) Paran je onaj broj koji je djeljiv na 
dva jednaka dijela. 

(ii) Neparan broj je onaj koji nije djeljiv 
na dva jednaka dijela. 

(Hi) Frost broj je onaj koji se mjeri samo 
jedinicom. 

(iv) Slozen broj je onaj koji se mjeri 
nekim brojem. 

(v) Medusobno prosti brojevi su oni koji 
imaju kao zajednicku mjeru samo 
jedinicu. 

Euklid medu parnim brojevima razlikuje parno-parne i 
parno-neparne brojeve. Govoreci o djeljivosti broja a brojem b on 
zapravo pokazuje koliko se puta duzina b, kao jedinica mjere, 
sadrzi u duzini a. 

Brojeve interpretira pomocu geometrijskih objekata. Rezultat 
mnozenja dva broja Euklid naziva povrsinskim, a njegove cinioce 
stranicama; rezultat mnozenja tri broja je zapreminski broj, a 
njegovi cinioci su ivice. Izlaganje stavova iz teorije brojeva je 
zasnovano na primjeni geometrijskih metoda te se ovako 
geometrizovana teorija brojeva cesto naziva Euklidova geometrijska 
teoriji brojeva. 



66 

Ne samo u definicijama nego i u tvrdnjama je prisutan 
geometrijski nacin misljenja. Na to pored ostalog ukazuje i rijec 
"mjeriti". Ovakav pristup je uticao na dalji razvoj teorije brojeva. 

Danasnja teorija brojeva se oslobodila geometrijske 
interpretacije pa ipak se jos uvijek moze naici na neke od pojmova 
prethodnog perioda kao sto je, na primjer, najveca zajednicka 
mjera. 

Medu tvrdnjama koje je Euklid dokazao ne moze se izdvojiti 
najznacajnija, ali svakako treba istaci Euklidov algoritam (postupak 
za odredivanje najveceg zajednickog djelioca). 

G Primjer. 

Odrediti najveci zajednicki djelilac brojeva 270 i 57. 
Obavimo sljedeci niz dijeljenja: 



27:57=4 
(42) 

57:42=1 
(15) 

42:15=2 

(12) 



270=57 4+42 
57=42 -1+15 
42=15-2+12 



15:12-1 ; 15=12 1+3 

(3) 

12:4=3. 12=3 4 

Kako je u posljednjem dijeljenju 3 sadrzan u 
12, to je sadrzan i u 15, jer je 15=12'1+3. 
Odavde dalje slijedi da je 3, redom, sadrzan u 
42, 57 i 270. Dakle, najveci zajednicki djelilac 
brojeva 270 i 57 je 3. G 



67 

I ovdje je Euklid dosljedan svom nacinu izlaganja, ne 
rijesava nijedan praktican zadatak kao sto je to bilo uobicajeno u 
Egiptu. 

Grckom matematicaru Teonu iz Smirne (oko 125. godine 
nove ere) se pripisuju dokazi sljedecih stavova o djeljivosti 
brojeva: 

(i) Ako je n prirodan broj, onda je n Hi n — 1 
djeljiv sa 3, sa 4 Hi i sa 3 i sa 4. 

(ii) Ako je kvadrat prirodnog broja n djeljiv sa 3, 
a nije djeljiv sa 4, onda je n -1 djeljiv sa 4. 

Nikomah je u djelu Uvod u aritmetiku sistematski izlozio 
sva ona ucenja iz teorije brojeva koja su do tada u grckoj 
matematici bila poznata. 

Grci su za teoriju brojeva koristili naziv aritmetika, dok su 
vjestinu racunanja nazivali logistika. Od 16. vijeka logistika i 
aritmetika su objedinjeni u aritmetiku. 

Egipcani su znali odrediti da li je neki broj djeljiv sa 2, a 
Grci su poznavali pravilo djeljivosti brojeva sa 9. Interesantno je 
da se do kriterija djeljivosti sa 3 doslo tek u 13. vijeku. Arapi su 
ispitivali djeljivost brojeva sa 8, 7 i 11. 

Arapski matematicar, fizicar, ljekar, filozof i astronom Abu 
Ali ibn Sina (980-1039) u svom enciklopedijskom djelu Knjiga 
iscjeljenja izlaze neke stavove o djeljivosti: 

1. Ako neki broj dijeljenjem sa 9 daje ostatak 1 Hi 8, onda 
kvadrat tog broja podijeljen sa 9 daje ostatak 1 . 
Ako neki broj dijeljenjem sa 9 daje ostatak 2 Hi 7, onda 
kvadrat tog broja podijeljen sa 9 daje ostatak 4. 
Ako neki broj dijeljenjem sa 9 daje ostatak 4 Hi 5, onda 
kvadrat tog broja podijeljenjen sa 9 daje ostatak 7. 
Na kraju, ako neki broj dijeljenjem sa 9 daje ostatak 3, 6 Hi 
0, onda kvadrat tog broja podijeljen sa 9 daje ostatak 0. 



68 



2. Ako broj dijeljenjem sa 9 daje ostatak 1 , 4 Hi 7, onda 
njegov kub podijeljen sa 9 daje ostatak 1 . 
Ako broj dijeljenjem sa 9 daje ostatak 2, 5 Hi 8, onda 
njegov kub podijeljen sa 9 daje ostatak 8. 
/ ako broj dijeljenjem sa 9 daje ostatak 3, 6 Hi 0, onda 
njegov kub podijeljen sa 9 daje ostatak 0. 



Hobi Johana Bernulija 

Svajcarski matematicar Johan Bernuli (1667- 
1748) rastavljao je na proste cinioce prirodne brojeve 
koji se zapisuju samo pomocu jedinicama. U 
Berlinskoj akademiji je objavio tablicu prostih 
djelitelja brojeva napisanih sa n jedinica, gdje je 

n=1,2,3,...,31: 

111 = 3 -37 
1111 = 11 -101 
11111 = 41 -271 
111111 = 3-7-11 -1337 
1111111 = 239 4649 
11111111 = 11 -73101 137 



Ona nije bila potpuna jer za neke brojeve nije 
uspio naci proste djelitelje; tri broja nije rastavio do 
prostih cinilaca, dok je kod nekih brojeva pogrijesio. 



DRUGA GLAVA 
ALGEBRA 

1. U V O D 

Rijec algebra potice od rijeci al-dzabr koja se kod arapskog 
matematicara al-Horezmija nalazi u naslovu knjige Hisab al-dzabr 
val-mukabala (Ucenje o svodenju i o dvostrukom oduzimanju), 
koja je u Evropi postala popularna preko latinskog prevoda i dugo 
vremena je sluzila kao jedini prirucnik algebre. 

U istorijskom razvoju algebarskog nacina izrazavanja isticu se 
tri perioda. U prvom dominira usmeno izrazavanje bez ikakvih 
simbola. Na ovom stepenu razvoja nalazili su se, na primer, Grci 
sve do 1. vijeka. Algebra ovog perioda naziva se retorickom. 

Pojava Diofantove Aritmetike (3. vijek) predstavlja znacajan 
moment u daljem razvoju algebarske simbolike. Ovim djelom 
zapocinje period tzv. sinkopatske algebre u kojem se pojedini 
pojmovi i operacije oznacavaju skracenicama. Diofant primjenjuje 
posebne skracenice za nepoznate velicine, za stepene, razlomke i 
si. Sinkopatska algebra je dugo egzistirala zajedno sa retorickom. 
Tek u 15. vijeku javljaju se pokusaji da se nastavi sa onim sto je 
zapoceo Diofant prije vise od hiljadu godina. Uvode se posebni 
simboli za algebarske pojmove, operacije, relacije i si. 



70 

Najvise zasluga za uvodenje savremene algebarske simbolike 
ima francuski matematicar Vijet. Algebra treceg perioda naziva se 
simbolicka algebra. 



2. RACUNSKE OPERACIJE 

U najstarijim matematickim rukopisim nailazimo na razlicite 
metode koje su primjenjivane pri racunanju. Vidjeli smo da se u 
pocetku racunalo na primitivan nacin uz upotrebu kamencica, 
skoljki ili prstiju, bez ikakvog zapisivanja brojeva i oznaka za 
racunske operacije. Kasnije se kod prvih civilizacija pojavljuju 
specijalne tablice za racunanje tzv. abaci. 

Vavilonci nisu imali znak za sabiranje, jednostavno su 
brojeve koje treba sabrati pisali jedan do drugog. U Rajndovom 
papirusu nailazimo na znak za sabiranje: raskoracene noge u 
smjeru pisanja. Ako je kretanje bilo naznaceno u suprotnom smjeru 
od smjera pisanja, onda je to znacilo oduzimanje. Slicne pristupe u 
oznacavanju sabiranja i oduzimanja nailazimo i u drugim 
matematickim rukopisima; koriste se odredeni znaci ili rijeci za 
oznacavanje pojedinih racunskih operacija. Da bi se doslo do 
danasnjeg nacina pismenog racunanja trebalo je da prode vise od 
sedamnaest vjekova. 

U 15. vijeku bilo je poznato osam osnovnih racunskih 
operacija medu koje su pored uobicajenih ubrajani udvajanje 
(duplikacija) i polovljenje. 

Mnozenje u sistemima koji nisu apsolutno pozicioni je dosta 
komplikovano. Navodimo primjer mnozenja brojeva zapisanih 
pomocu rimskih cifara. (Rimljanin koji je znao mnoziti bio je, u 
svoje vrijeme, matematicki veoma obrazovan). Mnozenje se svodi 
na uzastopna sabiranja (radi lakseg pracenja s desne strane je 
prikazan postupak u indijsko-arapskom dekadnom zapisu). 



71 



XLiir xiii 

XLIII (I puta) 
+ XLIII 


43 

+ 43 

86 

+ 86 

172 

+ 172 

344 

172 

+ 43 

559 


4313 

(2 puta) 

(2 puta) 

(2 puta) 

(2 puta) 
(2 puta) 
(2 puta) 

(13 puta) 


LXXXVI 
+ LXXXVI 


(II puta) 


CLXXII 
+ CLXXII 


(IV puta) 


CCCXLIV 
CLXXII 
+ XVIII 


(VIII puta) 
(IV puta) 
(I puta) 


DLIX 


(XIII puta) 



Danasnji nacin mnozenja vodi porijeklo iz Indije. U Evropu 
su ga prenijeli Arapi. Najveci problem je bio pronaci jednostavan 
nacin zapisivanja brojeva, odnosno racunskih operacija mnozenja i 
dijeljenja. To je bio jedan od razloga sto su matematicari 
pribjegavali sastavljanju raznih tablica. Tako je, na primjer, al-Kasi 
(14/15. vijek) u djelu Kljuc aritmetike izlozio tablicu mnozenja 
brojeva od 1 X 1 do 59 X 59. 

Do mnogih tacnih rezultata se dolazilo na neobican nacin. Na 
primjer, al-Kasi mnozeci 153 -=- sa 16— zamjenjuje — sa 5, a 



1 



sa 25 sto zapravo mozemo interpretirati kao decimalni zapis 



ovih brojeva: 



1 



0,5 i 



1 



0,25. 



72 



U proslom vijeku u Rusiji je koriscena metoda 
mnozenja slicna metodi udvajanja, koju su 
upotrebljavali Egipcani. 

Lijevi broj dijelimo, a desni 
mnozimo sa 2. Rezultat pisemo 
kako je pokazano u tabeli. Ako se 
dijeli neparan broj, onda se pise 
cijeli dio od trazenog kolicnika. 
Postupak ponavljamo dok u 
lijevom stupcu ne dobijemo 1. 



Zatim se u desnoj koloni 
precrtaju svi brojevi ciji su parovi 
u lijevoj koloni parni. Rezultat 
proizvoda je zbir neprecrtanih 
brojeva u desnoj koloni. 



48X26 


48 


26 


24 


52 


12 


104 


6 


208 


3 


416 


1 


832 


48X26 


48 


26 


24 


§2 


12 


4S4 


6 


2Q8 


3 


416 


1 


832 




1248 



Primjer. 

Luka Pacoli je 1494. godine u jednom 
svom djelu naveo nacin mnozenja koji 
su koristili stari Indijci. 

673X915 

6 7 3 

1 
5 




5 / 

/ 4 


6 / 
/ 3 


2 / 
/7 


/ 

/ 6 


/ 

/7 


0/ 
/ 3 


3 / 


3 / 

/ 5 


1 / 

/5 



73 

Ova metoda je posluzila Neperu kao 
ideja za izradu proste mehanicke 
racunske masine za mnozenje poznate 
pod imenom Nepewvi stapici. 

Tek od druge polo vine 19. vijeka u cetiri osnovne racunske 
operacije spadaju: sabiranje, oduzimanje, mnozenje i dijeljenje. 

Fibonaci je za osnovne racunske operacije smatrao sabiranje, 
oduzimanje, mnozenje, dijeljenje, operacije sa razlomcima, 
proporcije i korjenovanje. 

Na simbole matematickih operacija cekalo se dugo. U 15. i 
16. vijeku kao znak za sabiranje koristi se slovo p (pocetno 
slovo rijeci plus). U nekim rukopisima se kao oznaka za sabiranje 
upotrebljava latinska rijec et (veznik i). Za oduzimanje se koristi 
slovo m, pocetno slovo latinske rijeci minus. Znak za sabiranje + 
i oduzimanje — prvo se nalaze kod Fibonacija odakle su preneseni 
u Njemacku gdje se pojavljuju u rukopisima, na primjer, 
Drezdenska zbirka (1481). Ovi simboli su prvi put stampani u 
Racunici Jana Vidmana (1489). Ovo nikako ne znaci da se od 
navedenih godina oni koriste iskljucivo kao znaci za sabiranje i 
oduzimanje. Tako, na primjer, u 17. vijeku kod nekih matematicara 
nailazimo i na druge oznake. 

Kako se povrsina pravougaonika odreduje mnozenjem dva 
broja to se u nekim rukopisima slika pravougaonika koristila kao 
znak za mnozenje. Na primjer, proizvod brojeva 53 i 1 3 je 
zapisivan 53 1 3. Njemacki matematicat Stifel kao znak za 
mnozenje koristi slovo M, prvo slovo glagola Multiplicare 
(mnoziti) i pise 4M6=24. Znak X kao znak za mnozenje prvi je 
uveo Outred u djelu Kljuc matematike, objavljenom 1631. godine 
u Londonu. Ovaj znak je dobio ime krst svetog Andreja. Tacka • 
kao znak za mnozenje potice od Lajbnica (1698). On u jednom 
pismu Johanu Bernuliju pise: 

"Ne svida mi se X kao oznaka za mnozenje. 
Radije koristim tacku kao znak za mnozenje, 



74 

sto je u skladu sa simbolom : koji koristim za 
dijeljenje." 

Od Lajbnicova vremena za mnozenje brojeva a i b ne koristi 
se nikakav znak nego se pise samo at), sto se i danas cirri. 

Zvjezdicu * kao znak za mnozenje uveo je Johan Ran 1659. 
godine. 

U nekim knjigama namijenjenim citaocima skromnijeg 
matematickog znanja izostavlja se matematicka simbolika nego se 
koriste rijeci. Na primjer, 4 puta 8 cini 32. Ovo nalazimo u 
knjigama Zapadne Evrope, Rusije i kod nas. 

Znak dijeljenja : prvi put se pojavljuje 1633. godine u 
Dzonsonovoj Aritmetici i sluzi za oznacavanje razlomaka. On ovaj 
znak koristi umjesto razlomacke crte. Oznacavanje dijeljenja 
pomocu razlomacke crte je veoma staro; kod matematicara na 
zapadu javlja se tek kod Fibonacija (1228). 

Johan Ran je prvi koristio oznaku -J- kao znak za dijeljenje 
(1659). 

Deveticna Za provjeru ispravnosti sabiranja i 

, mnozenja korisceni su razni postupci. Oni 

" su se uglavnom zasnivali na poznatim 
cinjenicama kao sto su: 

Dijeljenjem proizvoljnog broja sa 9 dobije se isti 
ostatak kao kad se zbir cifara tog broja podijeli sa 
9. (Na primjer, pri dijeljenju broja 1387 sa 9 dobije 
se ostatak 1 . Zbir cifara broja 1 387 je 19 
(=1+3+8+7) i dijeljenjem 19 sa 9 ostatak je 1 .) 

Dijeljenjem zbira brojeva proizvoljnim brojem 
dobije se ostatak koji je jednak zbiru ostataka pri 
dijeljenju svakog od sabiraka tim istim brojem. 



75 

Ovo svojstvo je korisceno za provjeru ispravnosti sabiranja. 
Nalazimo ga kod indijskih i arapskih matematicara, a kasnije i kod 
Fibonacija. 

Primjer. 

Provjerimo tacnost sabiranja: 

23 

+ 85 

115 



223 



Dijeljenjem 23 sa 7 dobije se ostatak 2 

Dijeljenjem 85 sa 7 dobije se ostatak 1 (2+1+3= ) 

Dijeljenjem 1 1 5 sa 7 dobije se ostatak 3 

Dijeljenjem 223 sa 7 dobije se ostatak © 



imjer. 










Provjerimo 


tacnost sabiranja: 






2 


3 


5 




+ 


1 


2 


8 






3 


5 


1 



7 1 4 

Dijeljenjem 235 sa 8 dobije se ostatak 3 

Dijeljenjem 1 28 sa 8 dobije se ostatak 

Dijeljenjem 351 sa 8 dobije se ostatak 7 

Dijeljenjem 714 sa 8 dobije se ostatak 2 

Dijeljenjem 10 (=3+0+7) sa 8 dobije se isti 
ostatak 2 kao i pri dijeljenju 714 sa 8. 



76 



Ovaj postupak se moze skraceno pisati: 

3 


7 



2 


3 


5 


1 


2 


8 


3 


5 


1 


7 


1 


4 



Jedna od metoda provjeravanja tacnosti obavljenog mnozenja 
je tzv. deveticna proba. Nalazimo je kod al-Horezmija, Fibonacija, 
Rize i drugih. Objasnicemo je na sljedecem primjeru. 

Primjer. 

Deveticna proba proizvoda 347x267. 



3 4 7 
x 2 6 7 


5 
x 6 
3 


Zbir cifara broja 347 je 14. 
Podijelimo 14 sa 9; ostatak je 5. 

Zbir cifara broja 267 je 15. 
Podijelimo 15 sa 9; ostatak je 6. 

Zbir cifara broja 30 (=5x6) je 3. 
Podijelimo 3 sa 9; ostatak je 3. 

Zbir cifara broja 92649 je 30. 
Podijelimo 30 sa 9; ostatak je 3. 


2 4 2 9 
2 8 2 
6 9 4 
9 2 6 4 9 


3. 



Prva racunaljka, koju je upotrebljavao covjek bili su 
Abakus prsti na rukama. Pomocu njih je mogao sabirati, 

oduzimati i mnoziti. U predstavljanju brojeva pomocu 
prstiju na ruci stari narodi su pokazali narocitu vjestinu. U 15. i 
16. vijeku trgovci iz Firence su bili cuveni po vjestini racunanja 
pomocu prstiju na rukama. Kada je covjek prestao da zapisuje 
brojeve na drvetu ili kostima pomocu urezanih zljebova, presao je 



77 



na upotrebu kamenicica ili skoljki, koji su mogli biti brzo rastureni 
i ponovo upotrebljeni. 

Prva racunaljka poznata pod imenom abakus je bila poznata 
Vaviloncima, Kinezima, Japancima i Hindusima. Rimljani su je 
preuzeli od Etruraca, a Meksikanci i Peruanci su se sluzili 
abakusom kada su Spanci dosli u Ameriku. Abakus je uredaj za 
racunanje pomocu koga se aritmeticke operacije izvode po zici ili 
sipki. Prvi abakusi su se sastojali iz glatke ploce posute pjeskom 
na kojoj se pisalo prstom ili tankim stapicem. Naziv abakus 
dolazi od hebrejske rijeci abaq sto znaci prah. 

U pocetku su na ploci bile nacrtane vodoravne crte na koje 
su stavljani kamencici od pijeska nazivani kalkule. Po njima je 
racunanje dobilo naziv kalkulus (calculus), odnosno kalkulacija. 
Danasnji abakus potice iz Kine, a usavrsavali su ga Japanci i 
Korejanci. Sastavljen je iz okvira unutar kojeg se nalaze zice sa 
kuglicama. Kod Asteka (10/11. vijek) abakus se sastojao od zrna 
kukuruza nanizanih na konac koji je ucvrscen na drveni ram. U 
ramu abakusa se nalazi serija vertikalnih sipki (jedno vrijeme su 
pravljene od bambusa) na kojima su bile nanizane drvene kuglice. 
Horizontalne sipke su dijelile ram na dva dijela, poznata kao 
gornja i donja "paluba" (si. 28 ). 



TTTTTTTTTTT 




SI. 28. Abakus 



Abakus se postavljao na ravnu povrsinu i zatim su izvodene 
racunske operacije pomjeranjem kuglica. Svaka vertikalna sipka 
gornje "palube" ima vrijednost 5, a donje "palube" vrijednost 1 . 
Zadnja desna kolona je kolona jedinica, zatim slijedi kolona 
desetica, pa stotina itd. Sipke se smatraju prebrojanima kada 



78 

kuglice pomjerimo prema precki koja dijeli ove dvije "palube". Na 
slici 28 je zapisan broj 27491 . 

Problem pri racunanju sa abakusom je u tome sto se pri 
svakoj njegovoj upotrebi treba ponistiti prijasnji dobiveni rezultati. 
Pristalice racunanja sa abakusom nazivali su se abakisti. Protivnici 
abakista bili su algoristi koji su zagovarali pismeno racunanje. 

Abakus, koji se smatra pretecom danasnjih kompjutera, je i 
danas u upotrebi u Aziji; koriste ga i kineski trgovci u Sjevernoj 
Americi. Takode, pogodan je za obucavanje slijepe djece u nastavi 
matematike. 

Prostiju polumehanicku racunaljku sacinio je Neper (16/17. 
v.) poznatu pod nazivom Nepewvi stapici. Pomocu nje mogli su se 
mnoziti visecifreni brojevi. Poslije njega engleski matematicar 
Outred konstruise logaritamsko racunalo (1622). 

Prvu mehanicku racunsku masinu sacinio je 1642. godine 
Blez Paskal koji je tada imao 19 godina (si. 29). Ona je mogla 
obavljati sabiranje i oduzimanje sestocifrenih brojeva. Lajbnic je 
1673. godine konstruisao racunsku masinu koja je mogla sabirati, 
oduzimati, mnoziti i dijeliti. U 19. vijeku ruski matematicar 
Cebisev (1821-1894) je konstruisao racunsku masinu koja je takode 
obavljala cetiri racunske operacije. 



:";■;-% . •■■v-*.^' 




SI. 29. Paskalova racunska masina 



79 



Carls Bebidz, profesor matematike na univerzitetu u 
Kembridzu konstruisao je 1833. racunsku masinu koja je mogla 
izvoditi citav niz racunskih operacija po unaprijed predvidenom 
programu (si. 30). 







SI. 30. Bebidzova racunska masina 

Prototip prvog elektronskog racunara sacinili su 1946. godine 
americki inzenjeri Ekert i Mokli i matematicar madarskog porijekla 
Nojman. Bio je tezak 30 tona, sastavljen od oko 18000 
elektronskih cijevi i rasprostirao se na 200 kvadratnih metara. 
Serijska proizvodnja racunara je pocela 1958. godine. Danas su u 
svakodnevnoj upotrebi dzepni racunari, kao i moderni 
superracunari sa nevjerovatnim sposobnostima. 



Nas matematicar Mihailo Petrovic (1868- 
1943), profesor matematike na Beogradskom 
univerzitetu, autor mnogih naucnih radova, 
poznat je i kao jedan od zacetnika analognih 
racunskih masina. On je 1897. konstruisao 
hidrointegrator, analognu racunsku masinu, 
za koju je 1900. godine nagraden na 
Svjetskoj izlozbi u Parizu 



80 



2. RELACIJSKI SIMBOLI 

Oznaka = za jednako pojavljuje se prvi put 1557. godine u 
Algebri Engleza Roberta Rekorda da bi konacno bila prihvacena 
tek u 18. vijeku. Zanimljivo da je ovaj znak pronaden u 
biblioteci Univerziteta u Bolonji u jednom rukopisu koji je pisan 
izmedu 1550. i 1568. godine. 

Mnogi matematicari su koristili oznake cije je znacenje bilo 
samo njima poznato. Dekart je, na primjer, za jednako koristio 

znak oc koji je izveo iz slova 3e kao pocetnih slova latinske rijeci 
jednak (aequalis). Simbol = za jednako uslovljava formiranje znaka 
za razlicito; ako dva broja (izraza) nisu jednaka, onda je 
najnormalnije da se znak za jednakost = precrta da bi se naznacila 
netacnost te relacije. Time smo dobili simbol ^ za razlicito. 

Simbol za priblizno — potice od Antona Stajnhauzera (1875). 
Interesantno je da Farkas Boljai, otac cuvenog madarskog 
matematicara Janosa Boljaija, koristi ovaj znak za apsolutnu 
vrijednost. 

Put do ovih oznaka je bio dug; nastanku svakog od ovih 
simbola cesto bi prethodile duge polemike, ubjedivanja pa i 
prepirke. Cesto su pojedini izumitelji odredenih simbola ili pak 
njihove pristalice bile primorane da ih brane i da druge uvjeravaju 
kako oni zapravo najbolje odrazavaju operaciju ili relaciju koju 
predstavljaju. Tako je, na primjer, za znak jednakosti = receno da 
nije nista tako "jednako kao sto su to dvije paralelne linije" . 

Oznake za vece > i manje < uveo je Tomas Hariot (1631). 
Neki istoricari matematike smatraju da su ovi znaci nastali 
primenom polumetafore na znak za relaciju jednakosti =, tako sto 
je jedan njen kraj "pritisnut" i spojen sa jedne strane. 

Prije toga da bi se oznacilo da je 3. vece od b pisalo se 
a3/b2. Ovdje su brojevi 3 i 2 trebali posluziti kao orijentacija za 



81 

citanje napisane relacije (3 je vece od 2). Slicno, a2/b3 znaci: a 
je manje od b. Prije Hariotovih simbola upotrebljavane su razlicite 
i nefunkcionalne oznake kao na primjer: 

C za veci; — 3 za manji; 

E, ne veci; "— | ne manji. 

Navedene oznake poticu od engleskog matematicara Outreda . 

Simbole < , > kao i neke njihove varijante (=, =, >, <) 
uvodi Pjer Buger (1734). 

3. ZAGRADE 

Kada su se matematicki izrazi poceli zapisivati slovima, a ne 
samo rijecima uocena je potreba da se oni grupisu. Danas se to 
radi pomocu zagrada. Njima su prethodili razliciti simboli. 
Italijanski matematicar Bombeli u svojoj Algebri (1572) za zagrade 

koristi slovo |_ kao pocetak danasnje tzv. srednje (uglaste) zagrade, 
koju zatvara znakom J izvedenim od znaka |_. Iz ovih oznaka 
izvedeni su danasnji simboli za uglaste zagrade. 

Njutn stavlja vodoravnu crtu iznad izraza koji bi, prema 
danasnjem nacinu zapisivanja, trebao biti u zagradi. 

Primjer. 

Koristeci Njutnov nacin grupisanja izraza jednacina 



((a + 2) a - 4) a + 9 ] a - 1 = 

v ' J 



82 

bi se zapisivala 



a + 2 x a- 4 x a + 9 x a-1 = . 

Slican nacin grupisanja koristi i Frans van Sauten (17. vijek); 
on izraz B(D +BD) pise 



B in D quad. + B in D. 

Neki matematicari su takode koristili horizontalnu crtu, ali su 
je pisali ispod izraza. Sike je izraz V1 4 + V 1 80 pisao 

R 2 .14p!R 2 .180. . 

Matematicari Outred (1631) i Hariot (1631) su za grupisanje 
koristili tacke te su, na primjer, izraz 

Va + b pisali V : a + b : . 

Ovi znaci nisu bili prikladni te je trebalo iznalaziti nove 
funkcionalnije. Ta nastojanja su do vela do danasnjih simbola. 

Okrugle (male) zagrade ( ) koristili su u 16. vijeku Stifel, 
Tartalja i drugi; velike zagrade { } upotrebljava Vijet (1593), a 
uglaste (srednje) [ J Bombeli i Zirar (1629). Vijet je prvi poceo 
da koristi razlicite zagrade. 



4. SIMBOLICKA ALGEBRA 

U starom vijeku matematicki problemi iskazivani su rijecima, 
kratko, te se na isti nacin rijecima i rjesavaju. U algebri se ne 
koriste slova niti neki drugi znaci za racunske operacije i relacije. 



Primjer. 



83 



Evo kako glasi jedan zadatak iz Rajndovo£ 
papirusa: 

Broj i njegova sedmina sabrani daju devetnaest. 
Koji je to broj? Pretpostavimo da je to broj 
sedam. Tada jedan i sedam je osam, pa koliko 
puta po osam cine devetnaest, toliko puta se 
mora uzeti sedam da se dobije trazeni broj. I 
kako je dva puta osam jednako 16, cetvrtina od 
8 je 2; osmina od & je 1 , ukupno 19. To je 

trazeni broj d-\ 1 — (pri tome se umjesto 



1 1 

— + — 
4 8 



pise 



4 8 

2±1). 
48 



Cijeli zadatak sa rjesenjem se objasnjava rijecima, retoricki. 
Sve ovo izgleda komplikovano i na momente nejasno. 

Ovakav nacin zapisivanja matematickih zadataka bio je 
nepodesan, rjesenja su bila duga; neke rijeci su se u samom tekstu 
pojavljivale po nekoliko puta. Da bi se to izbjeglo matematicari 
pocinju da izostavljaju pojedina slova i uvode skracenice. Na taj 





Diofantove skracenice 






(sinkope) 




X 


c 


X" 1 


C x 


X 2 


A Y 


X" 2 


a yx 


X 3 


K Y 


x- 3 


K YX 


X 4 


A Y A 


x- 4 


A YX 


X 5 


AK Y 


x- 5 


AK YX 


X 6 


K Y K 


x- 6 


K Y K X 



84 



nacin pojedine recenice se stezu na kraci oblik. Grcki matematicar 

. . ,. 3 

Diofant je bio prvi koji primjenjuje skracivanje, te na primjer X 
pise K gdje prva dva slova oznacavaju kub (od grcke rijeci 
kubos), a X oznacava A sto zapravo predstavlja prva dva slova 
od grcke rijeci dinamis (sila, stepen). Ove skracenice nisu 
prihvatili drugi grcki matematicari tako da je Diofant ostao 
usamljen u svom nastojanju uvodenja skracenog nacina zapisivanja 
algebarskih velicina. 

Vec smo istakli da Grci nisu poznavali realne brojeve. 
Probleme su rjesavali pomocu geometrijske algebre. Kvadrat zbira 
(a+b) =a +2ab+b su interpretirali kao povrsinu kvadrata (si. 
31). Izrazi oblika a , a b, abc su posmatrani kao zapremine 
tijela. 



ab 


b 2 


a 2 


ab 



SI. 31. 



Diofant stavlja oznake jednu do druge bez posebnog znaka za 
sabiranje . Tako, na primjer, izraz 



x 3 +13x 2 +5x 



Y„. a Y. 



pise K a A lyqe, 



gdje prva dva slova oznacavaju X trece slovo (a) je grcki znak za 
1 , cetvrto i peto slovo oznacavaju kvadrat, sesto i sedmo slovo 
(iy) oznacavaju 13, znak c, predstavlja nepoznatu , a 8 je 5. 

Kao kod Arapa tako i kod prvih evropskih algebrista nije 
bilo slovne simbolike. Formule su iskazivane rijecima. Algebarska 
simbolika se pocinje razvijati tek krajem 15. vijeka. Put do 



85 

savremene simbolike bio je dug. Tako, na primjer, Stifel umjesto 
A pise AAA ; Englez Hariot upotrebljava zapis 3.3.3.3. za 3 . 
Slicno radi i Outred koristeci pri tome slova za brojeve: 



C| je oznaka za broj 2; uzeta 
A 2 Aq kao pocetno slovo latinske rijeci 

A 3 . quadratum. 

C je oznaka za broj 3; uzeta 
A Aqc kao pocetno slovo latinske rijeci 

A 4 Aqq cubus ' A c 

Oznake za 4 i 5 nastaju 
kombinovanjem ovih slova. 



Francuski matematicar Vijet izraz 

a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 

pise: 

a cubus + b in a quadr 3 + a in b quadr 3 + b cubo . 

Belgijski matematicar Simon Stevin umjesto danasnjeg 
zapisa 

4x 6 z 2 :13xy 5 z 7 



pise: 



4©Msec©ter©D1 3©sec©ter® , 



gdje je simbolom © predstavljeno X , dok se y javlja u istom 

obliku samo se ispred kruzica stavlja oznaka SGC; sa tGT je 

predstavljena treca velicina Z. Slovo M predstavlja znak za 
mnozenje, a D za dijeljenje. 

Ovakav nacin zapisivanja je bio nepogodan za rjesavanje 
jednacina. 



86 

Savremena simbolicka algebra je stvarana postupno; 
upotrebljavane kratice su usavrsavane, pomaci su bili mali. Tako, 
na primjer, Pjer Erigon (1634) stepene zapisuje a2, a3, a4,..., 

2 

sto je veoma blizu danasnjeg nacina njihovog predstavljanja: a , 

a 3 , a 4 ,... 

Na kraju navodimo neke od nacina obiljezavanja stepena sa 
negativnim, odnosno racionalnim izloziocem. Sike u jednom djelu 
iz 1484. godine izraz 

12x" 1 pise 12x 1m . 

Nikol Orem (14. vijek) koristi 

1 1 

— • 9 P da bi zapisao 9 3 . 

Stepen sa negativnim i racionalnim izloziocem u modernoj 
notaciji prvi put pise Njutn 1676. godine. 

Odlucan i znacajan doprinos stvaranju simbolicke algebre 
dao je francuski matematicar Vijet (XVI vijek). Kod njega ne 
nalazimo skracenice vec slova kao simbole koji predstavljaju 
matematicke velicine - geometrijske ili algebarske. On koeficijente 
obiljezava suglasnicima B,C,D,..., a nepoznate velicine 
samoglasnicima A,E,I,... 

Danasnje oznacavanje koeficijenata pocetnim slovima 
a,b,C,... a nepoznanice zavrsnim slovima X, y, Z,.... abecede uveo 
je Dekart (1637). 

Oznacavanje algebarskih velicina slovima doprinijelo je 
shvatanju algebre kao nadgradnje aritmetici. 



4©Msec(Dter©D13©sec(Dter(z)=4x 6 z 2 :13xy 5 z 7 



87 



6. JEDNACINE 

U 15. vijeku pojavljuju se rukopisi u kojima se cesto 
upotrebljavani izrazi pisu skraceno na nacin kako je to radio 
Diofant prije vise od hiljadu godina. Regiomontanus (oko 1463) 
umjesto nepoznate velicine koristi oznaku R, prvo slovo latinske 
rijeci res (stvar), dok za drugi stepen nepoznate upotrebljava 
skracenicu ce. Jednacine se iskazuju u sinkopatskom obliku. 
Sinkopatska algebra nije u potpunosti napustena sve do 17. vijeka. 

Za opsti razvoj simbolike jednacina najzasluzniji su Dekart, 
Vijet, Lajbnic, Njutn i Ojler. Put od sinkopatskog do simbolickog 
oblika iskazivanja jednacina bio je dug sto se moze vidjeti iz 
sljedecih primjera: 



Kardano (1545): 
savremena simbolika: 



cub 9 p : 6 reb 9 aeqlis 20; 
x 3 +6x=20. 



Vijet (okol590): QC-15QQ+85C-225Q+247N aequatur 120; 

savremena simbolika: 



x 5 - 1 5x 4 +85x 3 -225x 2 +274x= 120. 



Zirar (1629): 
savremena simbolika: 



1(4)+35(2)+24=10(3)+50(1); 
x 4 +35x 2 +24=10x 3 +50x. 



Dekart (1637): 

savremena simbolika: 

Valis (1693): 
savremena simbolika: 



ex 

yyoccy y + ay-ac ; 

b 

2 ex 

y = cy y + ay - ac . 

b 

x 4 +bx 3 +cxx+dx+e=0; 
x 4 +bx 3 +cx 2 +dx+e=0. 



Ojler (1798): 
savremena simbolika: 



xx+yy=n; 

2 ? 

x +y =n. 



Linearne 
jednacine 



U rukopisima Egipcana i Vavilonaca 
nalazimo primjere rjesavanja jednacina. 
Egipcani su imali poseban znak 
(hijeroglif) i ime za nepoznatu velicinu - zvali su je hau, sto znaci 
hrpa, gomila. Kod Indijaca nepoznata se nazivala sa (stvar). U 
nekim rukopisima nepoznate velicine su oznacavane pomocu boja. 



G Primjer. 



U Rajndovom papirusu se nalazi zadatak, koji je 
iskazan rijecima te se tako i rjesava: 

Gomila, racunata dva puta zajedno, sa jos 
jednom gomilom, dostize devet. Koje je ime te 
gomile? 

Racunaj zbir te jedne gomile zajedno sa te dve. 

Racunaj sa te tri da bi dobio devet. Nastaje tri. 
Gle, ime te gomile je tri. 

Navedimo jos jednom ovaj zadatak kao i nacin 
njegovog rjesavanja zajedno sa danasnjim 
nacinom zapisivanja jednacina: 



Gomila, racunata dva puta zajedno 
sa jos jednom gomilom, dostize 
devet. 


2x+x=9 


Koje je ime te gomile? 


x=? 


Racunaj zbir te jedne gomile 
zajedno sa te dvije 


2x+x=3x 


Racunaj sa te tri da bi dobio devet 


3x=9 


Gle, ime gomile je tri. 
Tacno si nasao 


x=3 



Zadaci u Rajndovom papirusu se odnose na prakticne 
probleme iz oblasti grade vinarstva, ekonomije i slicno. 



89 



Neki radnik mora za transport hljeba 
iz pekare koristiti korpe, vece u koje 
moze stati 5 hljebova i manje sa cetiri 
hljeba. Koliki ce se rad izvrsiti u oba 
slucaja? 

(Rajndov papirus) 



Nije jasno kako su Egipcani i Vavilonci dosli do rjesenja 
navedenih i slicnih problema. Najvjerovatnije da se zadatak, koji 
je bio iz svakodnevnog zivota, rjesavao mnogo puta sve dok se ne 
bi dobilo rjesenje koje je odgovaralo realnosti. Redosljed 
racunskih operacija koji dovodi do tacnog rezultata postaje radno 
pravilo. Na taj nacin se mogu rjesavati i slicni problemi. Svakako 
da ovi postupci nisu bili racionalni, ali u ono vrijeme su bili 
jedini nacin da se dode do potrebnog rjesenja. 

Dakle, za rjesavanje jednacina ne koristi se jedan opsti 
metod (algoritam) nego se za svaku konkretnu jednacinu koriste 
poseban postupak. Ne uocava se slicnost u metodama rjesavanja 
jednacina sto je preduslov za izgradivanje jedne opste metode. Pa 
i pored svega toga, saznanja Egipcana o jednacinama predstavljaju 
osnovu za dalju izgradnju algebarske metode njihovog rjesavanja. 
Trebalo je proci skoro dvije hiljade godina da bi se ucinio pomak 
u daljem usavrsavanju algebarske metode rjesavanja jednacina. Za 
to je najzasluzniji Diofant. 

Prije njega Grci nisu poznavali algebarske metode rjesavanja 
jednacina nego su ih rjesavali koristeci znanja iz geometrije. U 
Grckoj je bila razvijena nauka o proporcijama sto je Grcima 
omogucilo da proporcije budu zamjena za jednacine. 

Diofant uocava pojedina pravila za transformacije jednacina i 
u djelu Aritmetika ih navodi zajedno sa primjerima: 



90 



1. Ako je na objema stranama jednacine isti stepen 
nepoznate, ali sa raznim koeficijentima, mora se 
istoimeno od istoimenog oduzeti, dok ne postane 
jedan clan jednak jednom clanu. 

8x = 3x-10 
8x-3x = 3x-3x + 10 
5x = 10 

2. Ako su, medutim, na jednoj Hi na obje strane 
pojedini clanovi negativni, treba objema stranama 
dodati pozitivne brojeve sve dok ovi clanovi ne 
postanu pozitivni. 

5x-11 = 4 

5x -11 + 11 = 4 + 11 
5x = 15 

3. Zatim, treba opet oduzeti istoimeno od istoimenog 
dok na svakoj strani ne bude samo jedan clan. 

8x + 9 = 6x + 17 
8x + 9-6x = 6x-6x + 17 
2x + 9 = 17 
2x + 9-9 = 17-9 
2x = 8 



Diofant za nepoznatu koristi izraz "neodreden broj jedinica" 
i oznacava je grckim slovom sigma. 

Diofantova Aritmetika je zbirka zadataka sa dvanaest 
poglavlja od kojih je sacuvano samo sest. Zadaci su formulisani u 
skracenom obliku, nema saopstavanja zadataka u formi mitoloskih 
prica sto je do tada bila uobicajeno. Rjesenje zadataka se traze 
samo u skupu prirodnih odnosno racionalnih brojeva. Diofant je u 
Aritmetici izlozio i jednacine sa vise nepoznatih, tzv. "neodredene 
jednacine" koje jos nazivamo i Diofantove jednacine. 



91 



Jednacina 3x+4y= 1 u skupu realnih brojeva 
ima beskonacno mnogo rjesenja, jer za svako X 
postoji y tako da je 3x+4y=10. Ali, Diofant 
zahtjeva da su rjesenja cijeli pozitivni brojevi. U 
nasem slucaju jedno takvo rjesenje date jednacine 
je X=2 i y=1. To se moze najlakse vidjeti ako u 
pravouglom koordinatnom sistemu nacrtamo 
pravu koja je zadana relacijom 3x+4y=10, tada 
su uredeni parovi (x,y), odredeni navedenom 
formulom, koordinate tacaka te prave. Trazimo li 
da ove vrijednosti budu cijeli brojevi, mi zapravo 
odredujemo tacke cije su koordinate cijeli brojevi. 
To su, na primjer, tacke (2,1), 
(-2,4), (6,-2). Diofant trazi da su rjesenja 
prirodni brojevi te je uredeni par (2,1) rjesenje 
date jednacine. 



Indusima, koji su od Grka primili osnovne pojmove o 
linearnim jednacinama, rjesavanje linearnih jednacna je bilo 
olaksano zbog primjene podesnijeg nacina zapisivanja brojeva kao 
i zbog poznavanja negativnih brojeva. 

Arapski matematicar al-Horezmi je svojim djelom Ucenje o 
svodenju i o dvostrukom oduzimanju znatno uticao na razvoj 
matematike u Evropi u srednjem vijeku. Interesantno je da 
al-Horezmi u navedenom djelu linearne i kvadratne jednacine 
rjesava retoricki. 

Zahvaljujuci Dekartu i njegovoj metodi koordinata, koju je 
izlozio u Geometriji (1637), opsti oblik jednacine s jednom 
nepoznatom se zapisuje u obliku 

ax+b=0, gdje je a *0. 

Do tada su jednacine zapisivane samo sa pozitivnim 
koeficijentima; dijelovi jednacina sa negativnim koeficijentima "su 
prenoseni" na drugu stranu jednakosti. 



92 



Uspostavivsi vezu izmedu algebre i geometrije, Dekart istice 

b 

da se X = , rjesenje jednacine ax+b-U, moze geometrijski 

a 

predstaviti tackom T, koja je presjek prave y=ax+b i ose Ox 
(si. 32). Na taj nacin on ukazuje da zavisnost izmedu velicina X i 
y odreduje polozaj tacke u ravni. Metodu koordinata nezavisno od 
Dekarta otkrio je Pjer Ferma. 




y=ax+b 



SI. 32. 



Ako jednacinu ax+b-0 predstavimo u 
obliku ax = — b , tada se njen korijen 

b 

X = moze odrediti kao apscisa tacke I u 

a 

kojoj se sijeku prave y=ax i y=-b (si. 33). 





Vi 


i 




y=ax 


Xo 








X 




o 




w 


/ T 






y = 


-b 



SI. 33. 



93 

Sistemi Sistemi jednacina sa vise nepoznatih javljaju se 
. . v . kod Egipcana, Vavilonaca, kao i u grckim, 

J indijskim i kineskim matematickim rukopisima. 

Na primjer, u sedmoj i osmoj knjizi cuvenog kineskog djela 
Matematika u devet knjiga nalaze se sistemi jednacina sa kratkim 
pravilima njihovog rjesavanja. Pa ipak sve je to u jednoj 
prikrivenoj formi. Sisteme jednacina u danasnjem obliku po prvi 
put susrecemo kod Diofanta. On rjesava sisteme jednacina oblika: 

x + 30_ o x + y = 20 



y = a x + y = a x _ 30 
y = b; x = by ; y + 50 

x-50 



y + z = 30 
y + x = 40 



U sedmoj knjizi Matematika u devet knjiga nalaze se sistemi 
od pet jednacina sa pet nepoznatih koji su rjesavani po tacno 
odredenom algoritmu. 

I Arapi su se bavili rjesavanjem jednacine i sistema 
jednacina. Uglavnom su to bili radovi po uzoru na grcke 
matematicare poslije Diofanta. Prvu nepoznatu nazivaju stvar 
(sa), a drugu mjera (sen). 

U djelu Algebra al-Horezmi rjesava, pored ostalog, sistem 
jednacina: 

x-y = 2 
^ = 2 

y 

U Evropi se sve do kraja 15. vijeka rijetko nailazi na 
sisteme kvadratnih jednacina. Tek se Italijan Kardano (1539) 
ozbiljnije bavi sistemom linearnih jednacina. On proucava sisteme 
jednacina oblika 

a-pc + b-iy = c 1 
a 2 x + b 2 y = c 2 ' 

te daje njihova rjesenja: 



94 



cp 2 
bi 


-c 2 
-a 2 


i 


y = 


C 1 9 2 

a 1 


-c 2 


bi 


a 2 b 1 
b 2 


-ai 



Za dalji doprinos rjesavanju sistema jednacina zasluzni su 
Stifel i Rudolf, koji u Njemackoj prvi predaje o jednacinama sa 
dvije nepoznate. 

Rjesavanja sistema od dvije linearne jednacine sa dvije 
nepoznate metodom jednakih koeficijenata, odnosno metodom 
supstitucije uvode, redom, Njutn (1685) i Lajbnic. Metodu 
supstitucije je objavio jedan Njutnov slusalac tek 1707. godine. 

Pojam eliminisati nepoznatu uveo je Ojler umjesto 
dotadasnjih Njutnovih pojmova iskorijeniti, zatirati. 

Lajbnic je bio prvi koji je, 1676. godine, uocio da se pri 
opstem rjesavanju sistema linearnih jednacina javljaju 
karakteristicne kombinacije koeficijenata jednacina te se njihovo 
rjesenje moze izraziti pomocu tih koeficijenata. O tome je sljedece 
godine napisao raspravu pod nazivom Uzorak nove analize kojom 
se uklanjaju pogreske, koja kao rukom vodi duh i kojom se lako 
nalazi napredak. 



Arapski matematicar Abu Kamil (9/10. vijek) 
rjesava sistem jednacina 

x+y+z=100 

5x + — + z = 100 
20 

tako sto eliminacijom nepoznate Z dobija 

4 
y = 4x + — x, 

y 19 

odakle zakljucuje da je X=1 9, y=80 i Z=1 . 



95 



Kvadratne 
jednacine 



Grci su za rjesavanje kvadratnih jednacina 
koristili geometrijsku metodu. Oni su, posto nisu 
poznavali negativne brojeve, dopustali samo 
pozitivna rjesenja. Zato su izbjegavali slucaj kada su u kvadratnoj 
jednacini ax +bx+C=0 sva tri koeficijenta a,b,C pozitivna; u torn 
slucaju jednacina ne moze imati pozitivna rjesenja. 

Euklid (3. vijek p.n.e.) i Hiparh (2. vijek p.n.e.) rjesavali su 
kvadratne jednacine geometrijski, a Heron (2. vijek p.n.e.) i 
Diofant (3. vijek) racunski (algebarski). Kod Euklida nalazimo 
jednacine oblika 



X 2 +px=p 2 ; 



x 2 +q 2 =px; 



x 2 =px+q 2 . 



Heron rjesava kvadratne jednacine metodom nadopunjavanja 

Ua \ 6720 

na kvadrat. Kod njega nalazimo jednacinu X(j 4 — X j = . za 



144 



koju daje priblizno rjesenje X « 8 



1 



G Primjer. 



Duzinu a podijeliti na dva dijela tako da 
pravougaonik cija je osnovica a, a visina 
jednaka jednom odresku, bude jednaka 
kvadratu nad drugim odreskom 



a-x 



a-x 



a (a - x) = x 2 

Ovo je prvi primjer geometrijskog rjesavanja 
kvadratne jednacine u istoriji matematike. O 

U Indiji Brahmagupta (7. vijek) rjesava jednacine s 
negativnim koeficijentima, mada dopusta samo pozitivna rjesenja. 



96 

Bhaskara (12. vijek) poboljsava Heronovu metodu nadopunjavanja 
na kvadrat i rjesava kvadratne jednacine kao sto se i danas cini. 
Zato se ova metoda jos naziva i indijskom. 

Al-Horezmi je dao veliki doprinos sistematizaciji kvadratnih 
jednacina. Izlozio je postupke svodenja kvadratnih jednacina na 
neki od sljedecih oblika: 

1. ax =bx, kvadrati su jednaki korijenima; 

2 

2. ax -C, kvadrati jednaki broju; 

3. ax +bx=C, kvadrati i korijeni jednaki broju; 

4. ax +C=bx, kvadrati i broj jednaki korijenima; 

5. bx+C=ax , korijeni i brojevi jednaki kvadratima. 

Arapi su u 9. vijeku primjenjivali obrazac za rjesavanje 
nekih tipova kvadratne jednacine X + px + q = koji se i 
danas koristi: 



P 
2 



V 2 



v^y 



q- 



Omar Hajam (11. vijek) interpretira i rjesava kvadratne 
jednacine i algebarski i geometrijski. 

Od evropskih matematicara treba spomenuti Stifela i Stevina. 
Prvi je dao jedinstveno pravilo za rjesavanje kvadratnih jednacina. 
Ali ni on ne dopusta negativna rjesenja. Simon Stevin je razradio 
nauku o jednacinama ne zanemarujuci negativne korijene. Na taj 
nacin je pripremio teren za formiranje rjesenja kvadratnih 
jednacina opsteg tipa. 

Tek je Vijet dao jednu dublju analizu kvadratnih jednacina. 
Od njega potice rjesavanje jednacine ax +bx+C=0 supstitucijom 
X=y+t. Interesantno je da i on ne dopusta negativna rjesenja 
jednacina. 



97 

S kvadratnim jednacinama usko su povezani kompleksni 
brojevi. Tek kad je Italijan Kardano u djelu Velika vjestina (Ars 
magna, 1545) obradivao negativne i kompleksne brojeve, bilo je 
moguce rijesiti opstu kvadratnu jednacinu. 

Grci, Arapi i Indijci su kvadratnu jednacinu uglavnom 
izrazavali rijecima. Tako je, na primjer, umjesto danasnjeg zapisa 
X +3x=16 ova jednacina predstavljana recenicom: 

Jedan kvadrat i tri broja jednaki su 16. 

Bhaskara jednacinu 5x -3x+1 7=12 pise 



Ja bha 5 


Ja 3 


Ru 17 


Ja bha 


Ja 


Ru 12 



Stifel je koristio svoju simboliku za jednacine te jednacinu 
8x 2 +1 5x=48 zapisuje: 8z+1 5x jednako 48. 

U 16. i 17. vijeku nacin zapisivanja kvadratnih jednacina se 
sve vise usavrsava. Ali trebalo je da prode oko sto godina da bi 
se doslo do savremene algebarske simbolike. 



Italijanski matematicar Nikolo Tartalja (1500-1559) je 
pronasao metodu za rjesavanje jednacina treceg stepena. Nije 
je javno saopstio, nego je ucestvujuci na takmicenjima u 
rjesavanju matematickih zadataka izazivao divljenja prisutnih. 
Drugi italijanski matematicar Kardano je molio Tartalju da mu 
saopsti metodu rjesavanja kubnih jednacina, da bi njome 
obogatio svoju knjigu Velika vjestina. Poslije Kardanovog 
obecanja da je nece nikome saopstiti Tartalja mu otkriva 
tajnu. Uskoro Kardano u saradnji sa svojim ucenikom 
Ferarijem prosiruje Tartaljina pravila i na jednacine cetvrtog 
stepena i pozuri da to objavi. Tartalja je nezadovoljan 
ovakvim postupkom Kardana i poziva ga u Milano na javno 
na takmicenje. Ovaj ne odlazi nego salje Ferarija. 

Formule za rjesavanje kubnih jednacina ne nose ime svoga 
pravog tvorca Tartalje vec Kardana. 



98 



7. TEORIJA SKUPOVA I MATEMATICKA LOGIKA 

Tpnriin Teorija skupova je novija matematicka disciplina. 

, Njen osnivac je njemacki matematicar Georg 

" Kantor (1845-1918). On pod pojmom skupa 

podrazumijeva kolekciju odredenih objekata o kojoj znamo da li je 
neki objekt element tog skupa ili nije. Mnogi pojmovi teorije 
skupova bili su prisutni u matematici prvih civilizacija; Euklid 
dokazuje da je skup prostih brojeva beskonacan, geometrijske 
krive se definisu kao skupovi tacaka itd. 

Rjecnik pojmova iz teorije skupova je postao zajednicki svim 
matematicarima; pokazao se korisnim i u primjeni u nastavi 
matematike za sve uzraste ucenika. 

Znak { } za oznacavanje skupova poticu od Kantora. Uopste, 

zagrade { } se u savremenoj matematici skoro iskljucivo koriste za 
oznacavanje skupova. 

Znak E koristi se kao zamjena za rijec je element. Potice od 
Peana (1895), koji je zapravo koristio grcko slovo 8 (epsilon). 
Danasnja stilizacija ovog grckog slova je djelo engleskog filozofa 
i matematicara Bertrana Rasela. Prvi put se pojavljuje u njegovom 
djelu Principi matematike (1903). 

Relacijski simboli u teoriji skupova C i Q poticu od Peana; 
najvjerovatnije ih je izveo iz relacijskih znakova za brojeve 
< i <. 

Znaci ^, c£ i £ su nastaju kao logicna transformacija 
simbola: G, C, Q. 

Oznaku za prazan skup uvodi Andre Vejl (1906-1998); 
Ona vodi porijeklo iz norveskog odnosno danskog pisma. 



99 



Simboli U, Pi za skupovne operacije unija odnosno presjek poticu 
od italijanskog matematicara Peana (1858-1932). Interesantno da je 
ovaj posljednji znak koristio Lajbnic za mnozenje. 

Kako se u teoriji skupova veoma cesto spominju skupovi 
svih prirodnih, cijelih, racionalnih odnosno realnih brojeva to je 
bilo neophodno da se uvedu jedinstvene oznake za njih. Dedekind 
je skup racionalnih brojeva oznacavao sa R, a skup realnih 
brojeva gotickim slovom 9i (1872). 

Njemacki matematicar Helmut Has (1898-1979) skup cijelih 
brojeva oznacava grckim slovom T (gama), a skup racionalnih 
brojeva velikim grckim slovom P (ro). 

Oto Haupt skup cijelih brojeva obiljezava G°, a skup 
racionalnih brojeva P° (1929). U kasnijem izdanju navedeni 
simboli su, redom, zamijenjeni sa Z i Q. 

Danasnje oznake Z za skup cijelih, odnosno Q za skup 
racionalnih brojeva poticu od Burbakija. 

Kantor je 1893. godine uveo oznaku K (alef nula) za 
kardinalni broj skupa prirodnih brojeva. 



\/i * .tr^i Na razvoi evropske matematike i mislienia 

Matematicka v . ,. , , , *, 

uopse jedinstveno je djelovala grcka 

° matematika i filozofija. Grci su prvi 

koristili metode rasudivanja kojima jos i danas operisemo. Medu 

prve grcke logicare spadaju Zenon, Sokrat, Platon, Euklid i 

Aristotel. Dokazi koje nalazimo kod grckih matematicara Euklida, 

Arhimeda i Apolonija u logickom smislu odgovaraju danasnjim. 

Aristotel je prvi ukazao na potrebu da se objasni i 
sistematizuje izvjestan broj logickih nacela i postupaka. 

Za osnivaca savremene logike smatra se Dzordz Bui (1815- 
1864) ciji su prethodnici bili Hamilton i de Morgan. 



100 



Oznake p, q, r za iskaze poticu od Vajtheda i Rasela (1910). 

Oni su uveli i simbol ~ za negaciju te negaciju iskaza p 

oznacavaju ~ p. Za slozeni iskaz p Hi q koriste oznaku pVq, 
dok recenicu p i q zapisuju pAq. 

Relativno kasno je primjeceno kako se cesto u matematici, 
pored nekih drugih rijeci, pojavljuju i neodredene zamjenice: svaki 
i neki. Danas su o njima stecena nova saznanja, koja su nasla 
primjenu u matematici. Neki se naziva egzistencijalni kvantifikator, 
jer njime se ukazuje na postojanje odredenih matematickih 
objekata. Oznaku 3 za neki (postoji) uveo je Peano u jednom 
svom djelu objavljenom 1897. To je zapravo transformisano prvo 
slovo rijeci EXIST (postoji). Neki istoricari matematike navode 
da je prije Peana ovaj znak upotrebljavao Rasel. 

Simbol V za univerzalni kvantifikator svaki potice od 

Gerharda Gencena, koji ga je uzeo po analogiji za znak 3, kao 
prvo slovo rijeci ALL (svi). 



Paradoksi koji su se u matematici javili na prelazu 
iz 19. u 20. vijek bili su jedan od glavnih razloga da 
se matematicko misljenje podvrgne kritici i reviziji. 
Jedan od njih je poznat pod imenom paradoks 
berberina. 

U nekom selu bio je samo jedan 
berberin, koji je brijao sve one (i 
samo one) stanovnike sela, koji se nisu 
brijali sami. Da li je berberin brijao 
sebe? 

Ako bi se berberin brijao, onda bi on bio jedan od 
onih stanovnika koji se briju sami, pa se ne bi smio 
brijati. Ako se pak ne bi brijao, onda bi on bio jedan 
od stanovnika sela koji se ne briju sami, pa bi se 
morao brijati. 



TRECA G L A V A 
GEOMETRIJA 

1. UVOD 



Geometrija je jedna od najstarijih nauka. Ne moze se 
precizno utvrditi vrijeme nastanka prvih geometrijskih znanja. Ona 
se javljaju u najstarijoj istoriji ljudskog drustva kada se, pod 
uticajem i usljed potreba svakodnevnog zivota, kod covjeka 
pocinju stvarati predstave o kolicinskim odnosima i prostornim 
oblicima. Prije toga covjek je sticao odredena iskustva i pamtio ih. 
Ona najupecatljivija je nastojao da ovjekovjeci crtezima. U 
pecinama na kamenim stijenama pronadeni su crtezi od prije deset 
hiljada godina gdje su prikazani dogadaji iz svakodnevnog zivota. 
Ovi crtezi su oznacavali novu kvalitetu ljudskog pamcenja i 
misljenja koja je ukazivala na to kako se mogu evidentirati, 
sacuvati i razvrstati iskustva. 

Bavljenjem zemljoradnjom covjek mijenja svoj nacin 
misljenja, on vise ne skuplja ono sto nalazi u prirodi nego pocinje 
svjesno da proizvodi ono sto mu je neophodno. Ljudi 
zemljoradnici su ostajali na jednom mjestu sve dok je zemlja bila 
plodna i gradili domove u kojima su zivjeli duze vremena. 
Stvaraju se sela, razvijaju se jednostavniji zanati, nastaje trgovina. 
Sve ovo utice na formiranje jezika, odnosno na stvaranje rijeci za 



102 



jednostavnije numericke pojmove i za neke prostorne oblike. Na 
taj nacin su stvoreni uslovi za formiranje pojma broja. Sa 
nastankom brojeva javlja se potreba da se oni zapisu. U pocetku 
covjek koristi crte-duzi. Na taj nacin duz predstavlja broj, a broj 
duz; geometrija i aritmetika cine cjelinu i tek kasnije ce se 
izdvojiti u dvije matematicke discipline. 

Povlaceci linije ljudi su ulazili u svijet geometrije. Nastaju 
prave i krive linije, tacke i druge figure. Jos od vremena paleolita 
covjek biljezi odredene znakove (simbole) na kamenju, na 
kostanim alatkama bilo u magijske bilo u prakticne svrhe. U 
pecinama su otkriveni mnogi crtezi iz paleolita koji su sacinjeni 
od kombinacija pravih i krivih linija. U Ukrajini na kostima 
ubijenih zivotinja su pronadeni crtezi stari oko 20000 godina. 

Prvi crtezi su bili jednostavni da bi kasnije nastajale 
skladnije i potpunije slike. Vremenom covjek, da bi ukrasio 
posude, oruzje i zidove hramova, pocinje stvarati crteze sa dosta 
simetrije i pravilnosti. Oni su u umjetnosti poznati pod nazivom 
ornamenti. Na keramickim posudama iz petog milenijuma nalaze 
se razne forme tzv. tekuce spirale. Svi ovi crtezi spadaju u domen 
planimetrije. Sklad i ljepota ornamenata upucuju na zakljucak da 
su njihovi autori morali posjedovati odredeno geometrijsko znanje. 








SI. 34. Primjeri ornamenata iz neolita 
(oko 5000-4000 g. p.n.e.) 

Ornamentima su se isticale egipatske gradevine iz perioda 
izgradnje piramida. U njihovom usavrsavanju najdalje su otisli 
Arapi. O tome svjedoce crtezi na gradevinama, raznim predmetima 
za svakodnevnu upotrebu i rukopisima. Njihovi ornamenti, 



103 




poznatim pod imenom arabeske, 
predstavljali su stilizovane crteze 
biljaka; Arapima je religija 
zabranjivala da crtaju ljude i 
zivotinje. 

Prva geometrijska znanja 
nastaju kao rezultat rjesavanja 
prakticnih problema. Da bi se 
obavili meliracioni radovi bilo je 
potrebno premjeriti zemljiste i 
odrediti njegovu povrsinu. Ako se 
racunala povrsina trougla, onda se 
radilo o povrsini konkretnog 
zemljista trougaonog oblika. 

Mjerenja u gradevinarstvu i arhitekturi se obavljaju prema 
mjerama covjecijeg tijela. Sva tako stecena geometrijska saznanja 
su zasnovana na eksperimentu i spadaju u intuitivnu geometriju. 

U Rajndovom papirusu je naznaceno da je povrsina trougla 
stranice a i visine h jednaka polovini proizvoda duzine stranice a 
i visine h; povrsina kruga precnika d, zapisana u uobicajenoj 

simbolici, je —a 



SI. 35.Geometrijski 
ukrasi na antickoj 
posudi 



Odavde se dobija da je 3,16 priblizna 



vrijedniost broja n. 

Kinezi su znali za odnos stranica pravouglog trougla. Nije 
poznato kako su dosli do tog saznanja. Kod njih nema dokaza 
geometrijskih stavova. I u Indiji su saznanja bazirana na iskustvu; 
nema induktivnih dokaza. Stari Rimljani se interesuju i za 
prakticnu primjenu geometrije kao sto je mjerenje zemljista i 
izvodenje inzinjerijskih radova. Geometriji pristupaju intuitivno. 

Rjesavanjem prakticnih zadataka covjek stice nova 

geometrijska znanja i na osnovu njih pocinje formirati radna 

pravila sta treba ciniti da bi se ponovo uspjesno rijesio slican 

problem. Dolazi se do novih cinjenica, ali se ne pokusava traziti 



104 

uzrocna veza medu njima. Ovo je karakteristicno za prve 
civilizacije. 

Zahvaljujuci arheoloskim nalazima na podrucjima gdje su 
zivjele prve civilizacije dolazi se do podataka o pocecima razvoja 
geometrije. Kinezi su, da bi sagradili astronomske opseratorije, 
morali posjedovati odredena geometrijska znanja. Indijcima je za 
gradnju hramova bilo potrebno poznavanje konstrukcije pravouglog 
trougla, izracunavanje povrsine jednakokrakog trapeza ili 
pretvaranje pravougaonika u kvadrat jednake povrsine. 

Stari narodi u dolini rijeka Tigrisa i Eufrata su posmatranje i 
tumacenje nebeskih pojava zasnivali na znanjima iz geometrije. U 
gradevinarstvu je do izrazaja doslo njihovo poznavanje prakticne 
geometrije. 

Egipcani su u premjeravanju zemljista i gradenju piramida 
ispoljili visoki nivo poznavanja geometrije. O tome svjedoce 
rukopisi sa matematickim sadrzajima (zadacima) stari preko tri 
hiljade godina. Osim pisanih dokumenata uvid u razvoj geometrije 
starih naroda moze se steel na osnovu njene prakticne primjene u 
gradevinarstvu, arhitekturi i astronomiji. 

Grcki istoricar Herodot (5. vijek p.n.e) istice da je 
geometrija nastala u Egiptu usljed stalne potrebe da se poslije 
poplava brzo i pouzdano odrede granice nekog zemljista. Neki 
istoricari matematike smatraju da se ova konstatacija mora uzeti sa 
rezervom, jer poceci geometrije u Mezopotamiji i Kini su stari bar 
toliko koliko i u Egiptu. Svakako da su geometrijska znanja 
nastala u starom Egiptu posluzila kao podloga na kojoj su stari 
Grci poceli sistematski izgradivati geometriju zasnovanu na 
deduktivnoj metodi. 

Tek kod Grka nailazimo na zanimanje za apstraktni, a ne 
konkretni trougao. Oni su bili prvi koji su nastojali 
sistematizovati, apstrahovati i generalisati mnostvo nepovezanih 
geometrijskih cinjenica da bi iz njih dedukcijom dosli do drugih 
odnosa, koji su u skladu s novim iskustvima. 



105 



Prvi dokazi u geometriji javljaju se kod Talesa. Doprinos 
Talesa nije u otkrivanju teorema nego u njihovu dokazu. 
Aksiomatsko zasnivanje geometrije se prvi put javlja u Euklidovim 
Elementima. Za Grke geometrija je bila mnogo vise od 
zemljomjerstva. Najveci doprinos razvoju geometrije Grci su dali u 
periodu od 6. do 2. vijeka p.n.e, koja se u torn vremenu izgraduje 
samostalno i nezavisno od primjene. Geometrijski sadrzaji se izlazu 
sistematski uz uvazavanje deduktivne metode. Ovako izgradena 
geometrija postala je model kako se jedna nauka aksiomatski 
zasniva. Mnogi od matematickih termina dolaze iz latinskog jezika, 
kao sto su planimetrija, figura, linija, bisektrisa, centar, radijus, ili 
iz grckog jezika: dijametar, sfera, simetrija, dijagonala, 
stereometrija i drugi. 

Euklid je geometrijska znanja koja su Demokrit, Hipokrat i 
Eudoks izlagali u svojim filozofskim skolama dopunio i deduktivno 
izlozio u trinaest knjiga Elemenata. Skoro dvije hiljade godina 
Elementi su, uz izvjesne dodatke i komentare, bili glavni udzbenik 
iz kojeg se ucila geometrija. 

U prve cetiri knjige Euklid razmatra geometriju u ravni. U 
petoj i sestoj knjizi izlozena je teorija proporcija kao i njena 
primjena. U sljedece tri knjige Elemenata izlozena je teorija 
brojeva. Deseta knjiga sadrzi dosta opsirnu teoriju nesamjerljivih 
velicina. U posljednje tri knjige izlaze se geometrija u prostoru, 
stereometrija. 

Smatra se da su Elementi poslije Biblije knjiga koja je na 
Zapadu dozivjela najveci broj izdanja. Do 1450. godina bilo ih je 
preko 500 da bi se poslije otkrica stamparije pojavilo vise od 
hiljadu izdanja Elemenata. Srpska akademija nauka je u periodu od 
1949. do 1957. godine objavila Euklidove Elemente, koje je sa 
starogrckog na srpski jezik preveo i obogatio svojim naucnim i 
istorijskim komentarima matematicar Anton Bilimovic. 

Euklid je geometriju postavio na aksiomatske temelje koji su 
izdrzali vise od dvije hiljade godina, sve do 1899. godine kada ih 
je modernizovao i poboljsao njemacki matematicar David Hilbert i 
objavio u sada vec cuvenoj knjizi Osnove geometrije. 



106 



2. TACKA, PRAVA I RAVAN 



Geometrija, kao i druge matematicke teorije, je izgradena od 
aksioma, teorema i definicija. Na pocetku se odaberu osnovni 
pojmovi koje ne definisemo. Neka njihova svojstva se uzimaju kao 
tacni polazni stavovi - aksiome, koje ne dokazujemo. Iz njih se 
izvode logicke posljedice - teoreme. Teorema posjeduje najmanje 
jedan dokaz u kojem se koriste: aksiome, ranije dokazane teoreme 
i razni logicki zakoni. Definicijama se na izvjestan nacin odreduju 
novi geometrijski pojmovi i njihova svojstva. 

Tacka, prava i ravan spadaju u osnovne geometrijske 
(objekte) pojmove i kao takve ih ne definisemo. Tako nije bilo 
uvijek. Euklid i matematicari koji su bili pod njegovim uticajem 
pokusavali su da ih definisu. Te definicije su u stvari vise bile 
recenice kojima su se ovi pojmovi opisivali. Geometrijske 
pojmove predstavljamo pomocu modela. Na slici 36. su dati 
primjeri modela osnovnih geometrijskih pojmova: tacke, prave i 
ravni. 





SI. 36. 



Pitagorejci definisu tacku kao "jedinicu (nedjeljivi 

Tacka sastojak) koja ima polozaj". Ovu definiciju je prihvatio 

i Aristotel. Platon naziva tacku pocetkom linije. Za 

^rckog matematicara Simplicija (6. vijek), tacka je nedjeljiva i 



107 

predstavlja pocetak velicina koje iz nje rastu (povecavaju se). 
Euklid kaze da je tacka "ono sto nema dijelova". Kod nekih 
prevodilaca Euklidovih Elemenata ova definicija glasi: 

Tacka je ono ciji je dio nista. 

Za Euklida i Herona "tacka je hraj linije" . Euklidove 
definicije tacke nisu prave logicke definicije vec opisi i 
objasnjenja, koja su pored ostalog nejasna i maglovita te nije 
moguce objasniti sta autor njima zeli reci. Citalac je naprosto 
zbunjen i ne zna kako da shvati sta je to "sto nema dijelova" ili 
"ciji je dio nista" kao i sta bi sve moglo biti ono ciji je dio 
nista. Analizirajuci ovu definiciju srpski matematicar Radojcic 
kaze: "I samo nista je nesto cemu je deo nista". 

Predstavnici Platonove skole definisu liniju kao duzinu 
Linija bez sirine sto prihvata i Euklid. Ni ova definicija ne 

ispunjava osnovne zahtjeve definisanja, jer jedan pojam 
(linija) se definise pomocu dva slozenija pojma (duzine i sirine). 
Proklo daje modifikaciju Aristotelove definicije linije i kaze da je 
linija tok ili putanja tacke. 

Za Euklida prava linija je ona, koja za tacke na 
Prava. njoj podjednako lezi. Neki komentatori njegovih 

Elemenata smatraju da bi se ovako mogla 
definisati i kruzna linija. Za Platona prava je linija kod koje 
krajevi pokrivaju sve tacke medu njima. 

Arhimed pod pravom podrazumijeva najkracu liniju od svih 
koje se mogu povuci izmedu dvije tacke. Heronova definicija 
sadrzi elemente kretanja: Prava je linija koja ne mijenja svoj 
polozaj kada se vrti oko svoje dvije nepomicne tacke. I arapski 
matematicar i fizicar Sabit ibn Kora je pristalica uvodenja kretanja 
u geometriji. Prema njemu proizvoljna tacka pri prostom kretanju 
u nekom smjeru opisuje, u torn smjeru, pravu liniju. 

Grci su pod pravom podrazumijevali i polupravu i duz. Ovo 
je posljedica shvatanja tadasnjih geometara koji pravu ne smatraju 



108 

beskonacnom nego konacnom linijom, koja se po potrebi moze 
produzavati. 

Pojam ravni je najneposrednije vezan za pojam 

Ravan povrsine. To se uocava i kod Euklida: Ravan je 

povrsina koja za prave na njoj podjednako lezi. On 

pod povrsinom podrazumijeva povrs. Ova definicija je u skladu sa 

njegovom definicijom prave. Nesto jasniju i "konkretniju " 

definiciju dao je Smirnski (1. vijek): 

Ravan je povrsina koja sadrzi svaku 
pravu sto sa njom ima dvije 
zajednicke tacke. 

Dokazujuci geometrijske tvrdnje Euklid ne koristi definicije 
tacke, prave i ravni, te prema tome one u njegovim Elementima 
ne cine neku cvrscu vezu sa ostalim sadrzajima. Njegove 
definicije osnovnih pojmova imaju samo istorijski znacaj; treba ih 
smatrati samo opisom potrebnih elementarnih geometrijskih 
pojmova. 

Pogresno je smatrati da je definisanje osnovnih geometrijskih 
pojmova odlika matematicara starog vijeka. Tih pokusaja je bilo 
mnogo i kasnije. Za njemackog matematicara Lajbnica ravan je 
geometrijsko mjesto tacaka jednako udaljenih od dvije tacke. 
Furije (oko 1810.) za definiciju ravni koristi, u jednoj drugoj 
formi, Euklidovu teoremu (XI knjiga, peta teorema): 

Tri prave sa zajednickom tackom 
su u istoj ravni, ako postoji 
prava koja prolazi kroz tu 
zajednicku tacku i normalna je 
na svakoj od tih pravih. 

Krajem 19. vijeka matematicar David Hilbert je poboljsao 
grcka dostignuca u geometriji. 



109 



3. PARALELNE PRAVE 

Za Euklida "paralelne su one prave, koje se nalaze u istoj 
ravni i koje se produzene u beskrajnost na obe strane, ne sijeku 
jedna sa drugom". Pojam beskrajnost je zbunjivala grcke 
matematicare i komentatore Euklidovih djela. Oni se nisu mogli 
sloziti kako da pro vj ere da li su dvije prave paralelne, tj. ne sijeku 
li se one mozda "negdje daleko". Pojam beskonacnosti je u 
mnogim fazama razvoja matematike opasno uzdrmao zgradu 
matematike i ne rijetko je izgledalo da ce je srusiti. To se nije 
dogodilo, jer matematicari su bili ti koji su u zgradu matematike 
unosili nova saznanja, i na taj nacin otklanjali problem, 
doprinoseci da ona postane stabilnija, veca i privlacnija. 

Navedenom definicijom kod Euklida pocinje teorija 
paralelnih linija, koja je bila predmet mnogih rasprava. Grcki 
matematicari Posidonije, Simplicije i Aganis definisu paralelnim 
one prave koje su jednako udaljene jedna od druge. Mnogi su 
smatrali prihvatljivom ovu definiciju tako da je nalazimo i kod 
Klavija (1574), Borelija (1658) kao i u udzbenicima geometrije 
17. i 18. vijeka. 

Arapski matematicar Sabit ibn Kora ne koristi termin 
paralela nego govori o pravama koje se ne priblizavaju i ne 
udaljavaju jedna od druge ni u jednom od dva smjera. 
Dubrovcanin Ruder Boskovic u udzbeniku Planimetrija (1754) 
paralele definise kao prave koje se u beskonacnosti produzene 
nikada ne sastaju niti se jedna drugoj priblizavaju. 

Bilo je definicija prema kojima se paralelne prave sijeku u 
beskonacnosti (Kepler), odnosno imaju zajednicku beskonacno 
daleku tacku (Dezarg). 

Definicije paralelnih pravih moguce je podijeliti u tri grupe. 
U prvoj su one koje isticu da paralelne prave nemaju zajednickih 
tacaka; u drugu grupu spadaju definicije prema kojima paralelne 



110 

prave imaju isti pravac. Posljednja, treca grupa definicija se 
zasniva na tvrdnji da su paralelne prave podjednako udaljene 
jedna od druge. 

S problemom paralelnih prava vezan je Euklidov peti 
postulat, kojim se tvrdi: 

Ako dvije prave a i b sijece prava C i ako je 
zbir unutrasnjih uglova sa iste strane prave C 
manji od dva prava ugla, onda se prave a i b 
sijeku sa one strane prave C sa koje su ovi 
uglovi manji od dva prava (si. 37.). 



a+p<180° 



SI. 37. 

Ova, na prvi pogled, geometrijski ocigledna tvrdnja stvarala 
je poteskoce matematicarima preko dvije hiljade godina. 

Ako se, na primjer, umjesto ovog postulata kao aksioma 
prihvati iskaz "Kroz svaku tacku van date prave u datoj ravni 
prolazi tacno jedna prava, paralelna sa datom pravom" nece se 
narusiti ostali dio sistema Euklidovog izlaganja. 

Samim izostavljanjem petog postulata dobija se tzv. 
apsolutna geometrija, koju su, nezavisno jedan od drugog, prvi 
izlagali ruski matematicar Nikolaj Lobacevski i madarski 
matematicar Janos Boljai. 

Heron je za paralelne prave koristio oznaku = . Isti simbol 

nalazimo i kod Papusa. Danasnja oznaka za parelelne prave || 
potice od Outreda. 



Ill 



4. UGAO 

Egipcani i Vavilonci su sa zadivljujucom preciznoscu gradili 
hramove, piramide i druge grade vine. Visine predmeta su mjerili 
pomocu duzine njihove sjenke i ugla pod kojim su Sunceve zrake 
padale na Zemlju. Njima je bio poznat pojam ugla kao i vrste 
uglova. Vavilonci su znali da konstruisu ugao od 60 . Da bi se 
konstruisao prav ugao bilo je potrebno saciniti trougao od tri 
konopca cije su duzine bile redom 3, 4 i 5 jedinica mjere, kao 
sto je prikazano na slid 38, onda je ugao nasuprot najvece 
stranice tako dobijenog trougla prav. Ovaj nacin dobijanja pravog 
ugla su poznavali Egipcani, Vavilonci i Kinezi. 




SI. 38. Konstrukcija pravog ugla pomocu egipatskog trougla 



a 



Ugao u ravni je uzajamni 
nagib dvaju linija u ravni, 
koje se sticu i koje ne leze u 
istoj pravoj. 

Ako su linije koje obra- 
zuju ugao prave, ugao se 
zove pravolinijski. 

( -H Euklid (Elementi, I knjiga) 



3 



112 

Za Lezandra ugao je razlika dvaju prava, dok je za Bezua 
"velicina okretanja, koja dovodi jedan krak u polozaj drugog" . 

Grci su izvrsili podjelu uglova 
na ostre, tupe i prave. Ovoj podjeli je 
prethodilo uocavanje polozaja verti- 
kalne poluprave u odnosu na horizont, 
sto je u najuzoj vezi sa pravim uglom. 
Tek kasnije se ostali uglovi uporeduju 
sa pravim: 



Danas se u skolskim 
udzbenicima ugao 

definise kao unija 
ugaone linije i skupa 
svih tacaka u ravni 
koje su sa iste strane^ 



"Tup ugao je onaj, koji je veci od pravog. 

Ostar ugao je onaj koji je manji od pravog". 

Talesu se pripisuje otkrice i dokaz teoreme o jednakosti 
pravih uglova. 

Znak /_ za ugao je u 17. vijeku uveo francuski matematicar 
Erigon. Od njega potice simbol za normalnost prava _l_ kao i 

simbol I za prav ugao. Papus prvi koristi oznaku l_ za prav 

ugao. 

5. TROUGAO 



Trougao susrecemo kod prvih civilizacija. Zadaci o trouglu 
se nalaze u papirusima iz Egipta, u indijskim knjigama kao i 
drugim starim rukopisima. Egipcani su znali konstruisati prav ugao 
pomocu trougla cije su stranice, sacinjene od uzeta, duzine 3, 4 i 
5. Taj posao su obavljali geometri, koji su se zvali harpendonapti 
- zatezaci uzeta. Egipcani su smatrali da trougao sa stranicama 
duzine 3, 4 i 5 ima tajnovitu mod te su u hramovima i 
piramidama gradili prostorije tako da su njihova visina, sirina i 
duzina odnose kao ti brojevi. Izracunavali su povrsinu trougla kao 
polovinu proizvoda osnovice i njene visine. Ovo pravilo je 



113 



bilo poznato i Vaviloncima. Sva saznanja o trouglovima koja 
poticu od egipatske i vavilonske civilizacija su u funkciji 
prakticnih i konkretnih zadataka. Ucenja o trouglu pojavila su se u 
Jonskoj skoli (7. vijek p.n.e.) ciji je osnivac Tales, kod Pitagore i 
dugih. O trouglu je detaljno izlozeno u prvoj knjizi Euklidovih 
Elelemenata. 



Uglovi na osnovici jednakokrakog 
trougla medusobno su jednaki. 

Tales 



Neka saznanja o jednakokrakom i pravouglom trouglu nalaze 
se i u Rajndovom papirusu. Stav o jednakosti uglova na osnovici 
jednakokrakog trougla bio je poznat Vaviloncima prije 4000 
godina. 

Heron je za trougao koristio simbol V. Obiljezavanje trougla 
slovima nalazimo kod Grka; Euklidova simbolika za trougao je 
slicna danasnjoj. _^ 

H> 



Wi 



Englez Ricard Rolinson je stranice 
trougla oznacavao slovima A, B, C 
tako da je A bila najduza, a C 
najkraca stranica. Uglove nasuprot 
stranica A, B, C obiljezavao je 
redom a, b, C. 



w 
Grci su se veoma rano poceli zanimati za svojstva trougla 
kao sto su, na primjer, jednakost uglova na osnovici 
jednakokrakog trougla, zbir uglova u trouglu itd. Teorema o zbiru 
uglova u trouglu dugo se smatrala jednom od najvaznijih teorema. 
Ona se pripisuje Pitagori iako neki istoricari geometrije tvrde da 
je bila poznata i Talesu, koji je boraveci u Egiptu upoznao 
metode za premjeravanje zemljista, usavrsio ih i dao im oblik 
sistematskog teorijskog znanja. 



114 



Euklid je sistematizovao znanja o trouglu. Od njega potice 
podjela trouglova na jednakostranicne, jednakokrake i 
raznostranicne: 

trougao 



jednaMostranicni jednakokraki raznostranicni 



Iz ove klasifikacije proizlazi da jednakostranicni trougao nije 
jednakokraki. Danas je uobicajena sljedeca podjela trouglova: 

trougao 



jednakokraki 



raznostranicni 



jednakokraki 
(sa dvije jednake strane) 



jednakostranicni 



Ovom podjelom je obezbijedeno da svi stavovi o 
jednakokrakom trouglu vaze i za jednakostranicni. 

Euklid dijeli trouglove i prema vrsti uglova: 
trougao 



pravougli 



kosougli 



ostrougli 



rupougli 



Navedene podjele trouglova najvjerovatnije poticu od 
Egipcana. 



115 

Euklid je u Elementima, pored ostalog, izlozio i stavove o 
odnosu stranica trougla, o odnosu uglova trougla kao i o odnosu 
izmedu stranica i uglova. Nalazimo ih i kod Aristotela. 



Ako su u trouglu medusobno jednaka dva ugla, 
onda moraju biti medusobno jednake i stranice 
koje leze naspram jednakih uglova. 

Euklid /—==> 



Podudarnost Euklid u prvoj knjizi Elemenata definise 
tmuelnva podudarnost figura pomocu kretanja: "Ono sto se 
mole poklopiti, jednako je medu sobom" kao i 
stavove o podudarnosti trougla. 



Ako dva trougla imaju jednake po jednu stranicu 
i na njoj dva nalegla ugla, onda su ta dva 
trougla podudarna. 

Proklo, komentator Euklidovih Elemenata, navodi da je 
Tales koristio ovaj stav da bi izracunao udaljenost broda od 
kopna. Ovu teoremu Euklid je iskazao u mnogo 
komplikovanijem obliku nego sto je to do tada cinjeno. 
Dokaz ove teoreme dao je i al-Nairizi (oko 910.). I kasnije 
se ova teorema koristila za prakticna mjerenja terena. 
Postoji prica prema kojoj je jedan od Napoleonovih 
inzenjera koristeci ovu teoremu omogucio prebacivanje 
vojske preko rijeke. / '/^ 



Euklid je u Elementima izlozio tri stava o podudarnosti 
trouglova dok se cetvrti stav pojavljuje tek u 18. vijeku kod 
matematicara Volfa. 

Lajbnic u jednom neobjavljenom rukopisu iz 1679. godine 

uvodi oznaku za podudarnost — . Od Karla Molvejda (1824) police 

simbol = za podudarnost geometrijskih figura koji se i danas 
koristi. 



116 



Stav o podudarnosti trouglova kojima 
su jednake sve tri stranice skraceno 
nazivamo stav SSS. Slicno, ostali 
stavovi imaju oznake SUS, USU i 
SSU. Njih je uveo Julius Vorpicki, 
profesor gimnazije u Berlinu. 



Obrazac za izracunavanje povrsine trougla kome su poznate 
tri stranice 3, b i C dao je Heron: 

P = Vs(s-aXs-bXs-c), 



gdje je 
Arhimedu. 



a + b + c . . . 

S = . Arapi su ovu formulu pnpisivali 



Arhimed u svojim radovima spominje teziste i tezisnu liniju. 
Heron je u Mehanici iskazao stav da teziste dijeli tezisnu liniju u 
omjeru 2:1. Ova teorema tek u 19. vijeku ulazi u sastav 
elementarne geometrije. Stav o sjecistu visina trougla prvi izlaze 
Arhimed, a stav o sjecistu simetrala uglova i simetrala stranica 
trougla dao je Euklid. 

U prvoj knjizi Elemenata se po prvi put sistematski izlazu 
zadaci o osnovnim geometrijskim konstrukcijama kao sto su: 
konstruisati jednakostranicni trougao, upisati i opisati krug datom 
trougao, itd. Interesantno je da Euklid u Elementima ne govori o 
tome da se visine trougla sijeku u jednoj tacki - ortocentru. Za 
ovu cinjenicu su znali Arhimed, Papus i Proklo. 



117 



Primjena formule 

P = Vs(s - aXs - bXs - c) 

zahtjeva odredivanje kvadratnog korijena 
konkretnog broja. To je navelo Herona da 
formulise zadatak: "Naci sve trouglove s 
cjelobrojnim stranicama cija je povrsina takode 
izrazena cijelim brojem" . 

Rjesenje ovog problema su, na primjer, 
trouglovi sa stranicama: 

a=6, b=15, c=20; 
a=9, b=10, c=17; 
a=13, b=14,c=15. 



U starom vijeku nisu razmatrane karakteristicne tacke 
trougla. To se radi tek kasnije; Ojler 1765. godine rjesava zadatak: 

Ako je zadano srediste upisane kruznice, 
teziste i sjeciste visina, treba konstriusati 
trougao. 

U 19. vijeku dolazi do novih saznanja o trouglu. Fojerbah je 
1822. godine izlozio teoremu o kruznici devet tacaka (Fojerbahova 
kruznica): Srediste stranica trougla (A-i, B-i, Ci); podnozja visina 
(A , B , C ), i sredista odrezaka visina od ortocentra O do 
tjemena (K, L, M) leze na jednoj kruznici (si. 39). 

Ovaj stav je bio poznat i francuskim matematicarima Ponsleu 
i Briansonu (19. vijek). 

Ojler je dokazao da u svakom trouglu ortocentar O, teziste 
T i centar S opisane kruznice leze na istoj pravi, koju zovemo 
Ojlerova prava i da vazi 2 | ST | = | TO | . Fojerbah je pokazao 
da se centar E kruznice devet tacaka nalazi na Ojlerovoj pravi 
(si. 39). 



118 



Skotski matematicar Robert 
Simson (1687-1768) dokazao je 
da podnozja normala spustenih 
na stranice datog trougla iz 
proizvoljne tacke kruznice, 
opisane oko tog trougla leze na 
pravi, koju nazivamo Simsonova 
prava. Ovaj stav prije Simsona 
dokazao je engleski matematicar 
Valis. 




SI. 39. Fojerbahova kruznica 



6. PITAGORINA TEOREMA 



Kod pravouglog trougla je kvadrat na strani spram 
pravog ugla (na hipotenuzi) jednak kvadratima na 
stranama koje obrazuju prav ugao (na katetama). 

Ako je kod trougla kvadrat na jednoj strani jednak 
kvadratima na ostalim dvema stranama, onda je ugao koji 
obrazuju ove dve strane prav. 

47. i 48. stav prve knjige Elemenata 



Pitagorina teorema je ucenicima jedna od najpoznatijih 
teorema. Iako se pripisuje Pitagori, bila je poznata Egipcanima, 
Vaviloncima, Kinezima i Indijcima. 

Ako se, na primjer, prilikom gradnje hramova ili piramida 
trebao konstruisati prav ugao, onda je to cinjeno pomocu 
"egipatskog trougla" - trougla cije su stranice duzine 3, 4 i 5. 
Takode, stari narodi su znali konstruisati pravougli trougao sa 
stranicama duzina 6, 8 i 10; 9, 12 i 15; 12, 16 i 20, odnosno 
15, 36 i 39. Na ovaj nacin je uvedena veza izmedu figure i 
broja, tj. izmedu geometrije i algebre. 



119 



Grci su znali primijeniti Pitagorinu teoremu na kvadrat. Broj 

V2 su predstavljali dijagonalom kvadrata stranice 1 . Vavilonci su 
znali primjeniti Pitagorinu teoremu na kvadrat i pravougaonik. 

Smatra se da prvi dokaz Pitagorine teoreme potice od 
Pitagore. Prema legendi on je u znak zahvalnosti sto je dokazao 
teoremu bogovima prinio stotinu volova. Do danas su poznati 
mnogi njeni dokazi. Poznatiji dokazi ove teoreme poticu od 
arapskih matematicara Bhaskare i Hajama. Interesantno je da jedan 
dokaz ove teoreme potice i od americkog predsjednika Garfilda. 
Euklid prvu knjigu Elemenata zavrsava dokazom Pitagorine 
teoreme. 

Nazivi hipotenuza za najduzu stranicu pravouglog trougla i 
kateta za stranice izmedu kojih je prav ugao potice od Grka. 

Naveli smo da su stari Egipcani primjenjivali Pitagorinu 
teoremu pri konstrukciji pravog ugla pomocu trougla cije su 
stranice duzine 3, 4 i 5. Trojku prirodnih brojeva koji su mjerni 
brojevi duzine stranica pravouglog trougla nazivamo Pitagorini 
brojevi. 



£->— _ 









£. / u'j if 'J ^ 


\ v \ 






uij; t\ i- 


ilh — •i'xr-*- *if'y^J±)Li}''ZtJ J3?> .• Uj,' 


i.»* r - i ''*~r-*^>!^W> i J, J _^ 




■ ■' ■**' * ■ ■" 



">r-r 



SI. 40. Dokaz Pitagorine teoreme 
(arapski rukopis iz 14. vijeka) 



120 



7. CETVEROUGLOVI I MNOGOUGLOVI 

Egipcani i Vavilonci su od cetverouglova poznavali kvadrat, 
pravougaonik, jednakokraki i pravougli trapez. Prema Proklu, 
Euklid prvi proucava paralelogram iako je izvjesno da je za neka 
njegova svojstva znao i Pitagora. 

U prvoj knjizi Elemenata od cetverouglova definisani su 
kvadrat, pravougaonik, romb, romboid i trapez: 

Od cetverostranih figura kvadrat je 
jednakostran i sa pravim uglovima; 
pravougaonik je sa pravim uglovima, 
no nije sa jednakim stranama; romb 
sa jednakim stranama, no nije sa 
pravim uglovima; romboid sa 
jednakim naspramnim stranama i sa 
jednakim naspramnim uglovima, no 
nije ni jednakostran ni sa pravim 
uglovima. O stale cetverostrane figure 
neka se zovu trapezi. 

Iz ovih definicija proizlazi da kvadrat nije ni pravougaonik 
ni romb. Paralelogram se pojavljuje u prvoj knjizi Elemenata 
iako ga Euklid nije definisao. Neki istoricari matematike smatraju 
da je on svjesno izostavio definiciju paralelograma, jer ta rijec u 
grckom jeziku je gradena tako da je potpuno jasna vec iz svoje 
gramaticke forme. Tek u 19. vijeku paralelogram dobija 
ravnopravan status sa ostalim cetverouglovima. 

Iz Euklidovih definicija cetverouglova proizlazi njihova 
klasifikacija u kojoj nema paralelograma. Pretpostavlja se da ona 
potice od Egipcana. Heron je dao podjelu cetverouglova, slicnu 
Euklidovoj, ali je u nju ukljucio i paralelogram: 



121 



cetverougao 



paralelogram 



neparalelogram 



pravougaonik 



nepravougaonik trapez 



trapezoid 



kvadrat pravougaonik romb romboid jednako- razno- 
razlicitih kraki kraki 

dimenzija trapez trapez 



Euklid pod trapezom podrazumijeva cetverouglove koji nisu 
paralelogrami. Naziv trapez u danasnjem smislu prvi je upotrebio 
starogrcki matematicar Posidonije (1. vijek), a tek u 18. vijeku 
taj pojam poprima znacenje koje ima i danas. 

Stav o srednjoj liniji trapeza bio je poznat Egipcanima i 
Vaviloncima; od Grka za nju je znao Heron. 

Grci su koristili oznake za geometrijske figure; Papus je, na 

primjer, cetverougao obiljezavao □ , dok je Heron za pravougaonik 
koristio simbol I I . 

Pitagorejci su poznavali odnos povrsina paralelograma i 
trougla. Takode, bavili su se problemom pretvaranja jedne 
geometrijske figure u neku drugu figuru jednake povrsine. 

Stavovi o svojstvima dijagonala i uglova javljaju se kasnije 
(Proklo - 5. vijek, Klavije - 16. vijek). Euklid je u Elementima 
dokazao stav o zbiru uglova u cetverouglu. Proklo odreduje zbir 
uglova pojedinih cetverouglova. U 15. vijeku Regiomontanus je 
dokazao stavove o zbiru unutrasnjih i vanjskih uglova Pl-tougla. 



122 

Egipcani su prije 4000 godina znali odrediti 

Povrsina povrsinu pravouglog trougla i trapeza. U Egiptu se 

i poslije Euklida povrsina cetverougla odredivala 

o a+c b+d 

kao proizvod poluzbira suprotnih stranica: o = (si. 

41). Ova formula vazi za pravougaonik dok primjenjena na 
proizvoljan cetverougao daje rezultat koji sadrzi gresku. Egipcani 
su koristili poseban metod za smanjenje te greske. 




Brahmagupta (7. vijek) i Mahavira (9. vijek) su izracunavali 
povrsinu konveksnog cetverougla koristeci formulu 

P = 7s(s - aXs - bXs - cXs - d) , gdje je S poluobim 

cetvorougla sa stranicama a, b, C, d. Ovaj obrazac vazi samo ako 
je cetvorougao tetivni; za d=0 dobije se Heronov obrazac za 
povrsinu trougla. 

Brahmagupta i Mahavira za racunanje duzina dijagonala m, 
n cetvorougla sa stranicama a, b, C, d primjenjuju formule: 

l(ac + bdXab + cd) /(ac + bdXab + cd) 

V ad + bc V ab + cd 

Pocetkom 17. vijeka do ovog obrasca dosao je Snel, holandski 
matematicar i astronom. 



123 

Konstrukcija pravilnih mnogouglova bila 
Mnogouglovi j e po znata Pitagorejcima. Euklid je u 

Elementima dao konstrukcije pravilnog 
trougla, cetverougla, petougla, sestougla i petnaestougla. On ne 
koristi termine mnogougao i pravilan mnogougao. Pravilan 
petougao naziva petougao sa jednakim stranicama i jednakim 
uglovima; slicno je ako se radi o pravilnom sestouglu itd. 

Heron je odredio povrsine pravilnih mnogouglova, proucavao 
odnos izmedu stranice i poluprecnika opisane, odnosno upisane 
kruznice. 

Poslije zatisja od oko 1000 godina zahvaljujuci Arapima ova 
i druga znanja o pravilnim mnogouglovima, do kojih su dosli 
Grci, prenose se u Evropu. Sa njima se upoznaju i razraduju ih 
mnogi matematicari kao na primjer Nemorari (13. vijek), Snel 
(17. vijek) i Lezandr (18. vijek). 

Evropski matematicari su poklanjali veliku paznju problemu 
kostrukcije pravilnog n-tougla. Rjesenje ovoga zadatka se svodilo 
na dijeljenje kruznice na n jednakih dijelova. Renesansni umjetnik 
i naucnik Leonardo da Vinci proucava kako geometrija moze 
koristiti ciljevima slikarstva i pri tome navodi konstrukcije nekih 
pravilnih mnogouglova. 

Osnovno pitanje vezano za konstrukciju pravilnih 
mnogouglova bilo je: 

Koji pravilni mnogouglovi se mogu konstruisati 
samo lenjirom i sestaronf! 

Odgovor je pronasao devetnaestogodisnji Gaus, jedan od 
najvecih matematicar svih vremena. On je dokazao sljedecu 
teoremu: 

Pravilan mnogougao sa n stranica moze se 
konstruisati sestarom i lenjirom ako i samo ako je 
n=2 p-iP2...Pk , gdje je S nenegativan cijeli broj a 
Pi,P2,...,Pk razliciti Fermaovi prosti brojevi (k>0) Hi 
je T\ = 2. , gdje je S cijeli broj veci od 1 . 



124 



Fermaovi brojevi su brojevi oblika F n = 2 + 1 , gdje je n 
proizvoljan cijeli nenegativan broj. Ovo Gausovo otkrice uticalo je 
na to da se poveca interes za izucavanje Fermaovih brojeva. 
Medutim, sve do danas nije pronaden ni jedan prost Fermaov broj 
veci od F4=65537. 

Poslije Gausovog otkrica bilo je jasno da se, pored vec 
poznatih konstrukcija pravilnih mnogouglova (na primjer, sa 3, 4, 
5, 6, 8, 10, 12 stranica), mogu lenjirom i sestarom konstruisati 
pravilni mnogouglovi sa 17, 34, 68, 126, 252, 257,... stranica. 
Takode, zahvaljujuci Gausu bilo je jasno da se lenjirom i sestarom 
ne mogu konstruisati pravilni mnogouglovi ciji je broj stranica: 
7,9,11,13,14,18,19,... 

Stari Grci su dosli do pribliznih konstrukcija nekih pravilnih 
mnogouglova. Heron je pronasao pribliznu konstrukciju pravilnog 
devetougla. 



Karl Fridrih Gaus (1777- 
1855), jedan od najvecih 
matematicara svih vremena, 
je 1796. godine pokazao da 
se pravilni sedamnaestougao 
mole konstruisati samo 
pomocu lenjira i sestara. 
Ovo otkrice devetnaestogo- 
disnjeg Gausa izazvalo je 
senzaciju. Poslije toga Gaus 
je odlucio da se posveti 
matematici. 



125 
8. KRUZNICA I KRUG 



Kruznica je ravna figura Precnik kruga je svaka 

omedena takvom jedinom prava sto profazi kroz 

linijom (koja se zove srediste kruga a 

periferija), da su sve ogranicena je sa svake 

prove povucene od jedne strane periferijom 

tacke, koja se nalazi u kruga; on polovi krug. 
samoj figuri, prema toj 

liniji (prema periferiji Euklid 
kruga) medusobno 
jednake. 

Euklid kruznu liniju odnosno kruzni luk naziva periferija 
kruga. On umjesto poluprecnika govori o pravcu iz centra ili 
otvor sestara. U njegovo vrijeme stavovi o krugu su iskazivani 
pomocu precnika, a ne kao sto je danas uobicajeno pomocu 
poluprecnika. Tako je bilo sve do pocetka srednjeg vijeka. Termin 
poluprecnik prvi je upotrijebio Boecije (oko 510. godine). Euklid 
za tetivu koristu naziv "prava u krugu" misleci pri tome na 
odsjecak prave, tj. na duz. Papus (3. vijek ) i Erigon (17. vijek) 

upotrebljavaju jednostavnu oznaku za krug: ("") . Simbol ^ za 
kruzni luk uveo je Erigon. 

Arhimed u svome djelu O mjerenju kruga odreduje obim i 
povrsinu kruga. Ono se sastoji od tri teoreme: 

(i) Svaki krug jednak je pravouglom trouglu, pri 
cemu je poluprecnik kruga jednak jednoj kateti 
(uspravnoj), a obim kruga drugoj kateti 
(osnovici) trougla. 

(ii) Krug prema kvadratu nad precnikom odnosi se 
kao 11 prema 14. 

(Hi) Obim svakog kruga jednak je trostrukom 
precniku s dodatkom koji je manji od sedmog 
dijela, a veci od deset sedamdesetprvih 
prethodnog . 



126 

Proklo pripisuje Talesu otkrice i dokaz teoreme da dijametar 
polovi krug. 

Grcki matematicari su poznavali kruzni isjecak (Euklid ga 
naziva sektor), odsjecak, centralni i periferijski ugao, tangentu te 
diraliste. Euklid je stavove o kruznici izlozio u trecoj knjizi 
Elemenata. Grci su znali i stavove o tangentnom i tetivnom 
cetverouglu. Obratne teoreme ovih stavova daju Klavije (1574) i 
Vijet (1595). Indijci (12. vijek) su znali za tetivni i tangentni 
cetverougao. U to vrijeme kod Indijaca, a kasnije i na Zapadu, 
proucavaju se svojstva kruznice, odreduje njena povrsina i 
rjesavaju konstruktivni zadaci u vezi sa kruzicom. 



n 



Omjer obima kruga i njegovog precnika je 
konstantan. Za oznaku ovog omjera koristi se K, prvo 

slovo grcke rijeci periferija (rcspicpepia) i naziva se 
Ludolfov broj prema Ludolfu van Cojlenu (1540-1610), 
holandskom profesoru matematike. On je odredio TC sa tacnoscu na 
35 decimala. Na njegovom nadgrobnom spomeniku je uklesan taj 
broj. Engleski matematicar Vilijam Dzons je 1706. godine 
predlozio da se za omjer obima kruga i njegovog precnika koristi 
simbol TC. Ojler je prihvatio ovu oznaku, koja je prvi put stampana 
u jednom njegovom radu 1737. godine Od tada je stalno u 
upotrebi. 

Johan Bernuli je 1739. u pismu Ojleru koristi oznaku C, da 
bi sljedece godine u pismu upotrebljavao simbol TC. 

,2 



'16^ 



9 



. U Rajndovom 



Vrijednost za tc Egipcani su uzimali 

V ° J 
papirusu istice se da je povrsina kruga jednaka povrsini kvadrata 

. 8 

cija je stranica — promjera kruga, tj. 
9 



71 



3,16. 



v » J 



127 



Osnova Keopsove piramide je kvadrat 
stranice 230m; njena visina je 147m. 
Omjer obima osnove piramide i 
njegove visine je priblizno jednak 2n: 



obim osnove 4-230 



visina 



147 



6,26 



Vavilonci su za pribliznu vrijednost broja n uzimali 3, a 
22 



Heron . Arhimed odreduje obime krugu upisanih i opisanih 

pravilnih mnogouglova sa 6, 12, 24, 28, 48 i 96 strana te 

nalazi o — < 71 < o — . Ova aproksimacija prelazi i u kulture 

drugih zemalja (Indija, Kina, Japan) i dugo se smatralo tacnom 
vrijednoscu broja n. 



U Bibliji je opisana Solomonova gradnja bazena 
u Jeruzalemu : 

deset lakata bjese mu od jednog kraja do 
drugoga, okruglo unaokolo i pet lakata bjese 
visoko a uokolo mu bjese trideset lakata. 

Iz navedenih podataka ( precnik bazena je 1 , a 
obim 30) dobije se da je 7t = 3. Ova priblizna 
vrijednost za 7t naziva se biblijskom. 



128 



Neke priblizne vrijednosti broja n kroz istoriju: 



"377 
Ptolomej (150) — = 3,1416 



Kineski matematicari: 

Cang Hong (78-139) VlO 

Van Fan (229-267) — = 3,1 555 



Indijski matematicari: 



Evropski matematicari: 



Vijet (1540-1603 



Dzon Valis 



45 



Ariabhata (530) G2832 = 

20000 



Bhaskara (1150) ^^- = 3,1416 



1250 



Tiho Brahe ( 1 5 80) -=== = 3,1 409 

V785 



Fibonaci (1202) — = 3,141818 

275 



2 =J 1 J 1+1 J 1 J 1+1 J 1+1 J 1 - 
Tt V2V2 2 V2 V2 2V2 2V2 



43-3-5-5-7-7-9-9-11-11- 
n~ 2-4-4-6-6-8-8-10-10-. 



T ... 71.11111 1 

Laibnic — = 1 — + + + — . 

J 4 3 5 7 9 11 13 



129 



Slovenac Jurij Vega (1794) je izracunao n na 
140 decimala. 1853. godine bila je poznata priblizna 
vrijednost broja 71 na 707 decimala. 

Na svjetskoj izlozbi u Parizu (1937) na kupoli 
matematickog paviljona bila je ispisana tadasnja 

priblizna vrijednost broja 71. 

Danas se, zahvaljujuci racunarima, re moze 
tacno odrediti i do stotinu miliona decimala, ali to 
nema nikakve prakticne vrijednosti. 



Bifonov problem 

Broj 7t se moze odrediti eksperimen- 
talno na jedan, na prvi pogled, neobican 
nacin: 

Bacamo iglu na ravnu povrsinu, koja je 
ispresijecana paralelnim pravama, izmedu 
kojih je sirina jednaka duzini igle. Ovaj 
postupak ponovimo vise puta i pri tome 
brojimo koliko je puta igla presjekla neku od 
prava. Broj bacanja igle se udvostruci i 
podijeli brojem koliko je puta igla pala na 

pravu. Rezultat je priblizna vrijednost broja TC. 

Matematicar Volf (1850) je izveo 5000 
pokusa i dobio je vrijednost 71 = 3,1596. 

U Parizu je izlozen aparat koji demonstrira \/ 
ovaj eksperiment. 1/ 



130 

9. PROPORCIONALNOST. SLICNOST. 

Ideja omjera i proporcije javila se davno. O tome svjedoce 
hramovi u starom Egiptu, piramide u Gazi, persijski dvorci, 
indijski i drugi spomenici. U Moskovskom papirusu se nalazi 
zadatak u kojem je razmatran omjer vece i manje katete u 
pravouglom trouglu. 

Euklid je u petoj knjizi Elemenata izlozio teoriju proporcija. 
Pretpostavlja se da ona potice od Eudoksa. Euklid algebarske 
velicine interpretira pomocu geometrijskih oblika i zato se sadrzaji 
ove knjige mogu svrstati u geometrijsku algebru. U sestoj knjizi 
Elemenata teorija proporcija se primjenjuje na geometrijske figure 
i prema tome predstavlja izlaganje teorije slicnosti. Veci dio 
sadrzaja ove knjige i danas se nalazi u udzbenicima geometrije. 



Za pozitivne brojeve a i b geometrijska sredina G je 

definisana izrazom G = va • b . Euklid je naziva srednja 
proporcionala i izlaze je u geometrijskom obliku. U sestoj 
knjizi Elemenata rjesava zadatak: 

"Za dve date duzi konstruisati njihovu srednju 
proporcionala. 

Neka su date dve duzi AB i Br. 

Treba za AB i Br naci srednju 
proporcionalu (si. 42). Postavimo ih 
(uzastopce) na pravoj, nacrtajmo nad Ar 
polukrug AAr, povucimo kroz tacku B 
pravu BA upravno na Ar i spojimo A sa 
A i sa T. 

Posto je ugao AAr u polukrugu, on je prav. A kako je u 
pravouglom trouglu AAr iz pravog ugla povucena normala 
AB na osnovici, AB je srednja proporcionala izmedu 
odsecaka osnovice AB i Br. 

Na ovaj nacin je za dve date prave AB i Br konstruisana 
srednja proporcionala AB. A to je trebalo izvesti." 




131 



Proporcionalnost odsjecaka koje na dvjema pravama obrazuju 
dvije paralelne prave bila je poznata i Vaviloncima. Ovaj stav se 
pripisuje Talesu i u geometriji je poznat pod nazivom Talesova 
teorema. 



Kako je Tales izmjerio visinu Keopsove piramide 

Talesa, koji se nalazio u blizini Keopsove piramide, 
upita jedan svestenik: "Koliko je ona visoka?" Poslije 
kraceg razmisljanja Tales odgovori da ce visinu odrediti 
na jednostavan nacin. 

Na pijesku je odmjerio svoju visinu, stao na kraj ove 
izmjerene duzine i sacekao da njegova sjenka bude duga 
tacno onoliko kolika je duzina njegovog tijela. U torn 
trenutku i duzina sjenke piramide mora biti jednaka visini 
piramide. 

Tales je dao i uputstvo kako se moze odrediti visina 
piramide "u ma koje doba dana": "Zabode se stap u 
pjesak i uporedi se duzina stapa sa duzinom njegove 
sjenke. Visina piramide se dobije ako se duzina sjenke 
piramide pomnozi s dobivenim brojem" (si. 43). 




SI. 43. Kako je Tales odredio visinu piramide 



132 



Svojstva slicnih figura se primjenjuju pri izradi geografskih 
karata, planova, crteza i si. 

Do 16. vijeka proporcije su uglavnom zapisivane rijecima, 
u cjelosti ili skraceno. Bilo je rijetkih pokusaja zapisivanja 
proporcija uvodenjem posebnih oznaka. Tako je u jednom 

Hn 163 . 163 

indijskom rukopisu iz 12. vijeka proporcija 1U : = 4 



60 



150 



zapisana na sljedeci nacin: 



10 

1 


163 
60 


4 

1 


163 
150 



U nekim srednjovjekovnim rukopisima na arapskom jeziku 
proporcija 7 : 12 = 84 :144 je pisana 

144/.84/.12/.7. 

Dekart bi ovu proporciju pisao 7 | 1 2 | 84 | 1 44. 

Savremeni nacin pisanja proporcije uveo je Lajbnic 1693. 

godine. I oznaka za slicnost ~ potice od njega (1679). Ovaj 
simbol najvjerovatnije je modifikacija prvog slova latinske rijeci 
similis (slican). 



Zlatni 



Neka tacka B dijeli duz AC na dva dijela tako da se 
cijela duz AC odnosi prema vecem dijelu AB=x kao 
presjek n j en ve ^j ^j AB prema manjem dijelu BC=a-x, tj. 

a:x=x:(a-x). 



Tada kazemo da tacka B dijeli duz AC po zlatnom presjeku (si. 
44). 

A x B a-x C 

■ ■ ■ 

SI. 44. 



133 



Pojam i nacin konstrukcije zlatnog presjeka nalazimo u 
Euklidovim Elementima. I Pitagorejci su znali za njega. Shvacali 
su ga kao nesto savrseno harmonicno. Njihov simbol zvjezdasti 
petougao ima svojstvo da svaka od pet duzi, koje je obrazuju, 
dijeli dvije od preostalih duzi po zlatnom presjeku (si. 45). 




AB:AE=AE:EB 



SI. 45. Zvjezdasti petougao 




A a B 

SI. 46. Zlatni pravougaonik 



Ako za pravougaonik 
ABCD (si. 46) vazi 

(a+b):a=a:b, 

onda se on naziva zlatni 
pravougaonik. 



Zlatni presjek se pojavljuje u mnogim djelima klasicne 
arhitekture, slikarstva i umjetnosti uopste ciji su autori, na primjer, 
Fidija, Ticijan i Leonardo da Vinci. 

Grci su gradili amfiteatar na dva nivoa tako da su se brojevi 
redova odnosili po zlatnom presjeku (si. 47). 



SI. 47. 





(34+21):34=34:21 



134 



10. ANALITICKA GEOMETRIJA 

Tri momenta su znacajna u razvoju analiticke geometrije: 

1. pronalazak koordinatnog sistema; 

2. uspostavljanje veze izmedu algebre i geometrije; 

3. graficki prikaz funkcije y=f(x). 

Osnivacem analiticke geometrije smatra se Dekart. U 
Geometriji (1637) je dao osnovne pojmove analiticke geometrije 
izlozivsi nacela analiticke metode za rjesavanje geometrijskih 
problema. Dekartova metoda sastoji se u tome sto se 
geometrijskom objektu, posmatranom u odnosu na koordinatni 
sistem, dodjeljuju brojne velicine. Na taj nacin se operise 
jednacinama u kojima se te velicine pojavljuju kao poznate ili 
nepoznate. 

Metoda koordinata bila je poznata mnogo prije Dekarta. 
Egipcani su najvjerovatnije prvi koristili ovu metodu kada je 
poslije poplava trebalo premjeriti zemljiste. Elemente koordinatnog 
sistema nalazimo i kod Grka. Hiparh (2. vijek p.n.e.) je odredivao 
polozaj pojedinih mjesta na Zemlji. Pri tome je uveo geografsku 
sirinu i duzinu mjesta, sto je vec jedna vrsta koordinatnog sistema. 
Slicno su postupali i grcki astronomi da bi odredili polozaj 
zvijezda prema Zemlji. Rimski geodeti su primjenjivali pravougli 
koordinatni sistem prilikom premjeravanja zemljista. 

Od grckih matematicara narocito treba spomenuti Apolonija i 
njegovo djelo Konusni presjeci gdje je elipsu, parabolu i 
hiperbolu definisao kao presjeke kruznog konusa. Iako Apoloniju 
nije bila poznata nasa savremena metoda koordinata neki istoricari 
matematike smatraju da se u njegovom djelu nalaze nagovjestaji 
ideja ove metode. Nazivi elipsa, parabola i hiperbola poticu od 
Apolonija. 

Francuski matematicar Pjer Ferma se prije publikovanja 
Dekartove Geometrije koristio metodom koordinata. Samostalno i 
nezavisno od Dekarta dosao je do osnovnih ideja analiticke 



135 

geometrije. Ali prioritet se daje Dekartu jer je njegova Geometrija 
prvo stampano djelo u kojem se iznose ideje analiticke geometrije. 

Vec kod grckih matematicara nalazimo rjesavanje algebarskih 
problema geometrijskim metodama. Euklid izlaze teoriju brojeva u 
geometrijskom obliku. Ove ideje prihvataju i Arapi; Omar Hajam 
(oko 1100) u svojim radovima iz algebre koristi geometrijsku 
metodu. U Evropi Fibonaci primjenjuje algebarske metode u 
rjesavanju geometrijskih problema o trouglu. 

Uvodenjem slova za oznaku brojeva Vijet je omogucio 
izgradnju simbolicke algebre i njenu siroku primjenu na 
geometrijske probleme. Dubrovcanin Marin Getaldic, savremenik 
Vijeta, je shvatio znacaj simbolicke algebre i njene primjene u 
geometriji. Njegovo glavno djelo O matematickoj analizi i sintezi 
se odlikuje dosljednom primjenom algebre u geometriji. Ono je 
objavljeno, poslije njegove smrti, u Rimu 1630. godine i 
predstavlja prvu stampanu knjigu geometrijske algebre. 

Nikol Orem, istaknuti predstavnik Pariske skole 14. vijeka, 
uvodi graficko predstavljanje kretanja koristeci pri tome 
horizontalne i vertikalne duzi, gdje horizontalna duz jos nije 
shvacena kao apscisa. 

Poslije Dekarta niz istaknutih matematicara je prosirio 
njegove ideje. Njutn 1704. godine uvodi negativne koordinate. Na 
taj nacin omogucava graficko predstavljanje u sva cetiri kvadranta 
sto neki matematicari poslije njega nisu nikako prihvatali. 
Znacaj an doprinos sistematizaciji analiticke geometrije dao je 
francuski matematicar Lakroa (1765-1843). 

Leonard Ojler uvodi polarni koordinatni sistem, rjesava 
probleme transformacije koordinata i izlaze analiticku geometriju u 
prostoru. 

Danasnji nazivi koje susrecemo u analitickoj geometriji 
uvodeni su postupno. Rijeci apscisa i ordinata upotrebljava 
Apolonije ali sa sasvim drugim znacenjem. Izraz apscisa javlja se 
u 17. vijeku da bi kao stalni matematicki izraz u danasnjem 
smislu bio prihvacen tek u 18. vijeku. Naziv ordinata u 



136 

danasnjem znacenju potice od Paskala. Lajbnic je uveo izraz 
koordinata i prvi je smatrao obje koordinate potpuno 
ravnopravnim. Ishodiste kao pocetna tacka za mjerenje apscisa 
upotrebljava se od kraja 17. vijeka. 

11. VEKTORI 

Naziv vektor dolazi od latinske rijeci vehere sto znaci 
povlaciti. Zan Robert Argan (1768-1822), matematicar iz Zeneve, 
upotrebljava izraz usmjerena duzina, a Kosi- geometrijska velicina. 

Proucavajuci fizicke velicine, kao sto su put, brzina, sila i si, 
a koje su odredene sa tri podatka (intenzitetom, pravcem i 
smjerom) fizicari zapravo razmatraju vektore i njihova svojstva. 
Njutn navodeci posljedicu svog Treceg zakona: 

Tijelo na koje istovremeno djeluju dvije sile, opisace 
dijagonalu par alelo grama u isto vrijeme kao sto bi 
opisalo njegove strane sa odvojenim silama, 

zapravo formulise pravilo o slaganju (sabiranju) vektora koje 
naziv amo pravilo paralelograma. 

Pojam vektora je u uskoj vezi sa problemima iz statike kao 
sto je, na primjer, slaganje sila. Simon Stevin je 1587. objavio 
Elemente statike, gdje razmatra slaganje sila. Pri tome iznad slova 
kojom oznacava silu stavlja strelicu. Inace, on je prvi uveo 
slaganje medusobno normalnih sila. 

Kasnije se vektor posmatra kao duz kod koje je jedna njena 
krajnja tacka pocetak, a druga kraj. U savremenoj matematici 
teorija vektora se izlaze u okviru vektor ske algebre. 

Teoriju vektora su razvili gotovo u isto vrijeme, nezavisno 
jedan od drugog, Hamilton i Grasman. Nazive skalar i vektor 
uveo je Hamilton u jednoj raspravi iz 1845. godine. 

Uloga i pojava vektora je vezana s grafickim predstavljanjem 
kompleksnih brojeva. 



137 



12. GEOMETRIJSKA TIJELA 

Dio geometrije koja proucava svojstva prostornih figura 
naziva se stereometrija; rijec stereometrija dolazi od grckih rijeci 
stereos - prostor i metreo - mjeriti. Vecina naziva geometrijskih 
tijela potice iz grckog jezika koji se preko latinskog prenose u 
mnoge evropske jezike. Za razvoj stereometrije najzasluzniji je 
Euklid. Do tada je planimetrija bila u prvom planu. Zato i nazivi 
u stereometriji nisu bili standardizovani, za razliku od planimetrije. 
Tako, naprimjer, naziv paralelopiped se javlja tek u vrijeme 
Euklida. 

Egipcani i Vavilonci su znali odrediti zapremine nekih tijela 
pri cemu su ih uglavnom posmatrali kao konkretne posude; na 
primjer, namijenjene za ostavljanje zita. Proucavanje tijela se 
svodilo na odredivanje njegove zapremine te se pod pojmom tijelo 
podrazumijevala zapremina. Tako je bilo i kod Euklida. Naziv 
zapremina (volumen) kao strucni izraz dolazi tek pocetkom 19. 
vijeka. 

p . Prizma je latinski oblik grcke rijeci TipiG\lCL. 

Povrsinu kocke, prizme i valjka Egipcani, 

Vavilonci, Kinezi i Indijci su racunali mnozeci povrsinu osnove i 

visinu. U XI knjizi Elemenata Euklid, pored ostalog, navodi 

definicije prizme i kocke: 

Prizma je prostorna figura sastavljena 
od ravni, od kojih su dvije, naspramne, 
jednake, slicne i paralelne, a ostale su 
paralelogrami. 

Kub je prostorna figura obuhvacena sa 
sest jednakih kvadrata. 

Euklid za kocku koristi naziv kub, a Heron kub i heksa. 



138 



Jedan od tri najpoznatija grcka problema je 
udvajanje kocke. Prema jednoj legendi za vrijeme 
epidemije kuge u Atini gradani su otisli u prorociste u 
Delosu da traze pomoc. Svestenik im je savjetovao da 
Apolonov oltar, koji je bio u obliku kocke, povecaju 
tako da njegova zapremina bude dva puta veca. 
Gradani Atine su otisli zadovoljni ni ne sluteci da je 
problem nerjesiv. 



Piramida je latinski oblik grcke rijeci kojom 
Piratnida su Grci nazivali grobnice egipatskih faraona. 

Preuzeli su je od Egipcana. Indus Ariabhata 
(oko 510.) racuna zapreminu piramide kao polovinu proizvoda 
baze i visine. Dugo vremena saznanja o piramidi su bila uglavnom 
ona koja je izlozio Euklid u svojim Elementima. Tako je bilo sve 
do Kavaljerija (1635.) koji je uocio: 

Ako dvije prostorne figure presjecemo paralelnim 
ravnima, i ako pri tome odgovarajuci presjeci imaju 
jednake povrsine, tada te figure imaju jednake 
zapremine. 

Ovaj stav poznat pod nazivom Kavaljerijev princip dokazao 
je Lezandr (1794). 

Zarubljena U 14. zadatku Moskovskog papirusa 

piramida odreduje se zapremina zarubljene piramide. 

Slican zadatak se nalazi i u jednom 

vavilonskom rukopisu pisanom na papirusu. Metodu izracunavanja 

zarubljene piramide cija je osnova trougao ili kvadrat dao je 

Heron u svom djelu Stereometrija. Danasnja formula za zapreminu 

V = — h[b 1 +B 2 + a /B 1 B 2 ) prvi put se javlja kod Fibonacija (1220). 

Indijski matematicar Brahmagupta (oko 628 ) daje zapreminu 



139 

zarubljene piramide sa osnovama kvadrata stranica a i b i visine 
h: 

V = -h(a 2 +b 2 +ab). 
3 v ' 

Interesantno je da kod Egipcana i Vavilonaca, koji su znali 
odrediti zapreminu zarubljene piramide, nema primjera 
izracunavanja zapremine "pune" piramide. 



Jedna od najpoznatijih egipatskih piramida 
je Keopsova. Njena visina je 147 m; osnova je 
kvadrat stranice 230 m. Stranice osnove su 
okrenute prema glavnim stranama svijeta (istok, 
zapad, sjever, jug). Ugao koji bocna strana 
gradi sa osnovom piramide iznosi priblizno 
52°. 

Keopsova piramida ima cudesna svojstva. U 
njoj se uginule zivotinje ne raspadaju niti se 
mlijeko kvari. Ulaz u piramidu je postavljen 
tacno prema zvijezdi Sjevernjaci. Kad svjetlosni 
zraci sa Siriusa padaju pod pravim uglom na 
juznu stranu piramide, oni prolaze kroz uski 
otvor za propustanje cistog vazduha u 
kraljevsku sobu i osvjetljavaju glavu 
balzamovanog faraona. 

Duzina stranice osnove piramide iznosi 365 
lakata sto predstavlja broj dana u godini. 

U piramidu je "ugraden" godisnji kalendar. 
Sjenka piramide se postepeno smanjuje u toku 
godine, a kada se zavrsi godina ona nestane te 
se ponovo pojavi i postepeno povecava. 



140 



Engleski matematicar Tomas Simson (1710-1761) 
poznat je po tzv. Simsonovoj formuli, koja se odnosi 
na odredivanje zapremine tijela omedenog s dvije 
paralelne osnove: 

V = y(Q d+ 4Q s+ Q g ), 

gdje je H rastojanje izmedu osnova, a Qd, Q s i Qg 
su redom povrsine donje osnove, srednjeg presjeka te 
gornje osnove. Obrazac je bio poznat i prije nego ga 
je Simson otkrio. 



Rijec valjak (cilindar) dolazi od latinske rijeci 
' cylindrus, koja je opet u vezi sa grckom rijeci 

koja znaci kotrljati. Egipcani su znali odrediti 
njegovu zapreminu. Heron je odredio povrsinu omotaca uspravnog 
valjka, a Arhimed kosog valjka. 

Rijec konus (kupa) dolazi od grcke rijeci koja 
Kupa znacu klip. Euklid u XII knjizi Elemenata 

dokazuje sljedece stavove: 

Zapremina kupe jednaka je jednoj trecini 
zapremine valjka s jednakom osnovom i 
jednakom visinom. 

Omjer zapremine dvije kupe s jednakim 
osnovama jednak je omjer u njihovih visina. 

Grcki matematicari nisu znali za pojam mjere, nego su 
odredujuci zapreminu tijela ustvari racunali omjer zapremina dvaju 
tijela. 

Arhimed je u djelu O lopti i valjku odredio povrsine 
omotaca kupe i valjka. 



141 



Za odredivanje zapremine zarubljene kupe 
Zarubljena kupa Heron je koristio priblizne metode koju je 

vjerovatno preuzeo od Egipcana. Grci su 
prihvatili ovu metodu; njena primjena je pronaden medu grckim 
rukopisima o aritmetici koji poticu iz 4. vijeka. 



Rijec sfera je grckog porijekla. Arhimed je 
Sfera zapreminu lopte odredio na dva nacina. Prvo je 

dokazao da se 

zapremina lopte i zapremina valjka opisanog 
oko te lopte odnose kao 2:3; 

da bi kasnije utvrdio da je 

zapremina lopte cetiri puta veca od zapremine 
upisane joj kupe. 

Arhimed je odredio povrsinu sferne kalote kao i zapreminu 
loptina odsjecka ciju je danasnju formulu dao Karsten (1768). 
Zapreminu kuglina sloja izracunao je Lezandr (1724). 

Arhimedovi radovi o obrtnim tijelima podstakli su druge 
matematicare na proucavanje povrsina i zapremina rotacionih 
tijela. Ovim problemima bavio se Heron; Papus 
(3. vijek) je dao opste pravilo za odredivanje zapremine rotacionih 
tijela. Njegova saznanja ce poslije vise od 1000 godina primjeniti 
Kepler u djelu Stereometrija vinskih bacvi (1615). 







Arhimed je pokazao da 
za zapremine kupe (K), 
polulopte (L) i valjka (V) 
s jednakim osnovama i 
visinama vazi 

K: L: V= 1 :2:3. 


,---— "" ~ ~~ — ~— -> 


"-— __ ^--^ — XX - ~——- __— — " 






~~-— __ ___—-' 


Slika 48. 



142 



13. PRAVILNI POLIEDRI 



Kod Grka nema zajednickog naziva za geometrijska tijela. 
Tako Euklid u tri posljednje knjige Elemenata izlaze o geometriji 
prostora, ali pri tome ne koristi zajednicki naziv za tijela. Ti 
nazivi se javljaju mnogo kasnije. 

Dio prostora ogranicen sa svih strana poligonima zove se 
poliedar. Poliedar cije su sve strane podudarni pravilni poligoni i 
svi rogljevi podudarni nazivamo pravilan poliedar. Pravilnih 
poliedara ima svega pet: tetraedar, heksaedar (kocka), oktaedar, 
dodekaedar i ikosaedar. 




Strane tetraedra su cetiri 
jednakostranicna trougla. U 
svakom od cetiri njegova 
vrha sastaju se po tri ivice. 



SI. 49. Tetraedar 

Heksaedar (kocka) je omeden sa 
sest kvadrata. U svakom od osam 
vrhova sastaju se tri ivice, kojih je 
ukupno 12. 



/ 

/ 
/ 
/ 
/ 
/ 
/ 
/ 
t 



SI. 50. Kocka 




Oktaedar je omeden sa osam 
jednakostranicnih trouglova; u svakom 
od sest vrhova sastaju sastaju se cetiri 
ivice. 



SI. 51. Oktaedar 



143 



Dodekaedar je omeden sa 12 
pravilnih petouglova. Ima 30 ivica i 20 
vrhova. U svakom vrhu se sastaju 3 ivice. 





SI. 53. Ikosaedar 



SI. 52. Dodekaedar 

Ikosaedar je omeden sa 20 
jednakostranicnih trouglova, ima 30 ivica 
i 12 vrhova. U svakom vrhu se sastaje 5 
ivica. 



Pravilni poliedri se nalaze u prirodi kao kristali nekih 
hemijskih jedinjenja. Izvjesno je da su Egipcani znali za tetraedar, 
kocku, oktaedar i ikosaedar. Na nadgrobnim spomenicima 
Etruraca nadene su urezane slike dodekaedra. Pitagorejci su znali 
za svih pet pravilnih poliedara. Prema nekim istorijskim izvorima 
pravilne poliedre je ispitivao Aristej (4. vijek) koji je napisao do 
sada nepronadeni rad O poliedrima. Otkrice pravilnih poliedara se 
pripisuje Platonu i njegovoj skoli te se jos nazivaju Platonovim 
tijelima. 



Kuhinjska so je sastavljena od 
kristala koji imaju oblik kocke; 
dijamant ima oblik oktaedra, a pirit 
kristalizira u obliku dodekaedra. 



Pravilni poliedri se nazivaju i kosmickim tijelima, jer su ih 
pitagorejci povezivali s nastankom svijeta. Prema njihovom ucenju 
tetraedar, koji ima najmanji broj strana simbolizuje suvocu vatre. 
Kocka oslonjena na svoju osnovu je najstabilniji poliedar te 
simbolizuje zemlju. Oktaedar kao najpokretljivije tijelo, slobodno 



144 



rotira oko prave koja prolazi kroz njegova dva naspramna vrha, je 
pridruzen vazduhu. Ikosaedar ima najveci broj strana i simbolizuje 
vlaznost vode. Dodekaedar se najvise razlikuje od ostalih 
pravilnih poliedara, ima dvanaest strana koliko je i zodijackih 
znakova i zato mu je kao nebeskom simbolu pridruzena vasiona. 

Ucenje grckih filozofa o pravilnim poliedrima prihvatio je i 
dalje razradio Kepler u djelu Harmonija svijeta (1619). On je 
konstruisao model Suncevog sistema sastavljen od sest sfera i pet 
pravilnih poliedara, slika 54. Svaka sfera je odgovarala jednoj od 
sest do tada poznatih planeta: Saturnu, Jupiteru, Marsu, Zemlji, 
Veneri i Merkuru. Ove sfere su bile razdijeljene sa pravilnim 
poliedrima koji su bili u njih upisani. U to vrijeme ostale tri 
planete Pluton, Neptun i Uran nisu bile otkrivene. 




SI. 54. Keplerov model Suncevog sistema 

Posljednja, trinaesta, knjiga Elemenata je posvecena 
pravilnim poliedrima gdje Euklid, pored ostalog, dokazuje da 
postoji svega pet takvih poliedara. 

Prva knjiga Elemenata pocinje konstrukcijom pravilnog 
trougla, a posljednja zavrsava konstrukcijom dodekaedra. Zato su 
neki matematicari misljenja da je osnovna Euklidova ideja bila 
da u Elementima izlozi sva geometrijska znanja koja su 
neophodna za konstrukciju i razumijevanje pet Platonovih tijela, a 
ne da raspravlja o osnovama geometrije. 



145 



Ojlerova teorema 
za poliedre 



Proucavanje poliedara u grckoj 
geometriji je imalo centralno mjesto. 
Pa ipak Dekartu i Ojleru je ostalo da 
otkriju jednu od najvaznijih formula koje povezuju broj tjemena 
(t), ivica (i), i strana (pljosni) (p) konveksnog poliedra. 



Ojler polazi od poznatog izraza (n-2)7l za zbir uglova u 
n-touglu i pita se da li vrijedi nesto slicno za poliedre? Pokusaji 
sa zbirom diedara te zbirom prostornih uglova ne daju rezultate. 
Zatim posmatra zbir 2a svih uglova strana, provjerava taj zbir 
na nizu poliedara i dokazuje : Za=27ut-47t. 
Takode, dokazuje jednakost Da=27t(i-p). 

Posljedica ove dvije jednakosti je tzv. Ojlerova teorema: 

Oznacimo sa t broj tjemena, sa \ broj ivica, a sa p broj 
strana (pljosni) poliedra. Za svaki konveksan poliedar 
vazi t-i+p=2. 

Ovu relaciju prvi je dokazao Dekart 1640. godine, a 1752. 
je ponovo otkrio i koristio Ojler. 

Provjerimo Ojlerovu teoremu za pravilne poliedre. 



Pravilni poliedar 


t 


i 


P 


t-i+p 


tetraedar 


4 


6 


4 


2 


kocka 


8 


12 


6 


2 


oktaedar 


6 


12 


8 


2 


dodekaedar 


20 


30 


12 


2 


ikosaedar 


12 


30 


20 


2 



Ojlerova teorema spada u topologiju, matematicku disciplonu 
novijeg datuma, koja proucava svojstva prostora najopstijeg 
karaktera. 



146 

14. MJERENJE VREMENA 



Sa pocetkom bavljenja zemljoradnjom covjek je morao da 
vodi racuna o godisnjim dobima. Uvidio je da se ona javljaju u 
pravilnim vremenskim razmacima. Prvim civilizacijama je bilo 
poznato da se nocu sazvjezda na nebu mijenjaju prema godisnjim 
dobima. Znali su da prate godisnja doba tako sto su raspoznavali 
koje se zvijezde poslije Suncevog zalaska pojavljuju na nebu. 
Vavilonci su jos prije 4000 godina utvrdili duzinu godine na 365 
dana. 

Kalendar je sistem mjerenja vremena koji dijeli vrijeme na 
dane, nedjelje, mjesece i godine. Kalendarske podjele su zasnovane 
na kretanju Zemlje oko Sunca i redovnoj pojavi Sunca i Mjeseca. 
Dan je prosjecno vrijeme koje odgovara jednoj rotaciji Zemlje 
oko njene ose. Mjerenje godine se zasniva na jednoj revoluciji 
Zemlje oko Sunca i zove se sezonska, tropska ili solarna godina. 
Solarna godina ima 365 dana 5 casova 48 minuta i 45,5 sekundi. 
Stari narodi su racunali mjesec kao vrijeme izmedu dva puna 
mjeseca ili broja dana potrebnog da Mjesec obide oko Zemlje 
(29,5 dana). Ovo vrijeme, zvano lunarni mjesec, rezultira u 
lunarnu godinu od 354 dana, koja je za vise od 1 1 dana kraca od 
solarne godine. 

Nedjelja nije proizvod prirodnog fenomena nego je izvedena 
iz zidovske i hriscanske tradicije koja zahtjeva da se covjek svaki 
sedmi dan odmara. 

Kod Egipcana godina se sastojala od 12 mjeseci, 
Kalendar svaki mjesec od 30 dana, sa pet dodatnih dana 

sto je cinilo ukupno 365 dana. Ovaj kalendar je 
nastao iz prosto prakticnih razloga neprestanim promatranjem i 
procjenjivanjem prosjecne vrijednosti vremenskih intervala izmedu 
uzastopnih nailazaka poplava; nadolazenje Nila je bio glavni 
dogacaj u zivotu Egipta. Oko 238. godine p.n.e. kralj Ptolemej je 
naredio da se svake cetvrte godine dodaje po jedan dan. 



147 

U zemlji bez oblaka kakav je Egipat, posmatranje Sunca je 
bilo koristan nacin odredivanja vremena, te stoga ne iznenaduje sto 
je ondje naden najstariji poznat suncani sat. Dio egipatskog 
suncanog sata koji datira iz 1500. godine p.n.e. nalazi se u jednom 
berlinskom muzeju. Da bi mogli mjeriti vrijeme i nocu Egipcani su 
pronasli vodeni casovnik, tj. klepsidru, kako su ga kasnije nazvali 
Grci. Vodeni casovnik su koristili i Rimljani. 

Egipcanima dugujemo podjelu dana na 24 sata, mada 
egipatski sati nisu bili jednake duzine, jer su u svako doba godine 
periodi dnevne svjetlosti bili dijeljeni na 12 sati. 

U Egiptu je uvijek postojala mogucnost suse ili 
Vavilon poplave. Pa ipak Nil je rijetko donosio 

katastrofu. Tigar i Eufrat, rijeke u Mesopotamiji, 
su bile daleko manje ujednacene u svom ponasanju od Nila. Zato 
je izgleda osnova vavilonskog kalendara uvijek bila lunarna. 
Vavilonski astronomi iz 4. i kasnijih vijekova p.n.e. su sa velikom 
paznjom i matematickom domisljatoscu proucavali kretanje Sunca, 
planeta i Mjeseca. 

Lunarna godina je bila krace od solarne godine. Kako bi se 
sprijecilo da godisnja doba odstupaju, s vremena na vrijeme 
ubacivan je trinaesti mjesec. Pri tome nije postojao pravilan sistem 
za umetanje ovog dodatnog mjeseca sve do 5. vijeka p.n.e. 

U Srednjoj Americi Maje su posebnu paznju 
Maje poklanjali vremenu. Oni su kao ratarski narod 

osjecale potrebu za kalendarom te su biljezili dane 
koristeci pri tome posebne simbole. U njihovom kalendaru mjesec 
je imao dvadeset dana, svaki je smatran bozanskim i 
karakteristicnim. Trinaest mjeseci od po 20 dana je davao ciklus 
od 260 dana koji je oblikovao jezgro kalendara. To su nazivali 
sveta godina. Maje su imale i solarnu godinu od 365 dana koja je 
bila sacinjena od 18 mjeseci od po dvadeset dana i pet umetnutih 
dana. 



148 

Julijanski Rimljani su pokusali da svoj gradanski 
kalendar kalendar, koji se poput mnogih drevnih 

kalendara temeljio na kretanju Mjeseca, 
usklade sa kalendarima zasnovanim na kretanju Sunca. Ti 
pokusaji su zasnivani na nacinu dodavanja ili umetanja jednog 
mjeseca svake druge godine cija duzina nije konstantna. Nas 
danasnji kalendar je modifikacija kalendara koji je Julije Cezar 
uveo 1. januara 45. godine p.n.e. i koji je po njemu nazvan 
Julijanskim kalendar om. 

Postupajuci po savjetu grckog astronoma Sosigenesa, Julije 
Cezar je nalozio reformu kalendara. Godinu je fiksirao na 365 % 
dana i uveo prestupnu godinu od 366 dana svake cetvrte godine. 
Naredio je da januar, mart, maj, juli, septembar i novembar imaju 
po 31 dan, ostali mjeseci 30 dana, s izuzetkom februara, koji je 
trebalo da ima 29 dana, a u prestupnoj godini 30. Julijanskim 
kalendarom je utvrden i redosljed mjeseci u godini i dana u 
nedjelji; mjesec juli je nazvan juli po Juliusu Cezaru. Kasnije je u 
cast rimskog cara Cezara Avgusta osmi mjesec nazvan avgust. 
Tom prilikom ovom mjesecu je dodijeljen isti broj dana kao 
prethodnom mjesecu na taj nacin sto je februaru oduzet jedan 
dan. Kako bi se izjeglo da tri mjeseca od 31 dan dolaze zaredom, 
septembar i novembar su svedeni na 30 dana, a oktobar i 
decembar povecani na 31. 

Prvobitno sacinjeni rimski kalendar je pocinjao u proljece 1. 
marta. Zato su nazivi za mjesece od septembra do decembra redom 
izvedeni iz latinskih naziva za brojeve 7, 8, 9 i 10. Od 153. 
godine p.n.e. rimski konzuli su poceli stupati na duznost 1. januara 
te se taj dan racunao kao pocetak nove godine. 

U islamskom sviieta bili su potrebni matematicki 

ArciDi 

y obrazovani ljudi koji ce biti sposobni da odrede 

astronomski definisana vremena molitve kao i 
pravac Meke. 

Islamski kalendar je jedan od malobrojnih preostalih cisto 
lunarnih kalendara. Godina, koja ima 12 lunarnih mjeseci, je kraca 



149 

od tropske godine za nesto vise od deset dana. Islamska era je 
zapocela 16. jula 622. godine na prvi dan Muhamedovog bjega iz 
Meke u Medinu. Okolnosti pod kojima je ovo usvojeno kao 
pocetak epohe izlozio je al-Biruni (973-oko 1050) u svom velikom 
djelu Hronologija drevnih naroda. 

Jevrejski kalendar je nastao iz starog Hebrejskog 
Jevreii kalendara i ostao je nepromijenjen do oko 900. 

godine. To je sluzbeni kalendar moderne drzave 
Izrael i koriste ga Jevreji u cijelom svijetu kao religiozni kalendar. 
Pocetna godina za hebrejsku hronologiju je 3761. godina p.n.e. 
Zidovski kalendar je lunisolarni baziran na lunarnom mjesecu od 
29 dana u alternaciji sa 30 dana. 

Gregorijanski Problemi koji su se mogli dogoditi uslijed 

I.! postojanja vise kalendara sa razlicitim 

pocetkom brojanja dana u godini i razlicitim 

vremenom trajanja veoma slikovito ilustruje sljedeci tekst iz 

vremena o kojem govori: 

Ako pretpostavimo da je neki putnik krenuo iz Venecije 
1. marta 1245. prvog dana venecijanske godine, on bi 
se kad stigne u Firencu nasao u 1244. Ako bi nakon 
kratkog boravka ondje nastavio za Pizu, tamo bi vec 
bila zapocela 1246. godina. Nastavivsi svoje putovanje 
na zapad, ponovo bi se nasao u 1245. kad bi usao u 
Provansu, a prispjevsi u Francusku prije Uskrsa (16. 
aprila), jos jednom bi bio u 1244. godini. 

Julijanski kalendar funkcionisao je sve dok se nije izracunalo 
da je godina ovog kalendara duza od tropske godine za 1 1 minuta 
i 14 sekundi. Zbog te razlike 1582. godine proljetna ravnodnevica 
je pala 11. marta umjesto 21. marta, tj. deset dana ranije. Da bi se 
kalendar doveo u sklad sa tropskom godinom papa Grgur XIII je, 
prema savjetu poznatih astronoma, izvrsio reformu Julijanskog 
kalendara. Razlika od deset dana uklonjena je tako sto je propisano 
da se iza cetvrtka 4. oktobra 1582. godine naredni dan racuna kao 
petak 15. oktobar. Da bi se u buducnosti izbjegla odstupanja 



150 

kalendarske od solarne godine, propisano je da i od vjekovnih 
godina budu proste po tri uzastopne (npr. 1700, 1800. i 1900.), a 
prestupna svaka cetvrta vjekovna godina, i to ona koja je djeljiva 
sa 400. Ovako reformisani kalendar poznat je pod nazivom 
Gregorijanski kalendar. On se jos naziva i Hriscanskim 
kalendarom, jer koristi rodenje Isusa Hrista kao pocetak racunanja. 

Vremenom su mnoge zemlje presle na upotrebu 
Gregorijanskog kalendara, na primjer Velika Britanija 1752. 
godine, a Sovjetski Savez 1918. Grci su 1923. godine prihvatili 
Gregorijanski kalendar za civilnu upotrebu. Mnoge pravoslavne 
crkve su zadrzale Julijanski kalendar. 

U Gregorijanskom kalendaru mjeseci su neujednacene duzine 
te datumi i dani u sedmici variraju svake godine. Zato u novije 
vrijeme postoje prijedlozi da se postojeci kalendar reformise tako 
da bi se dobio tzv. fiksni kalendar. Po jednom takvom prijedlogu 
godina bi imala 13 jednakih mjeseci i cetiri identicna kvartala. 



CETVRTA GLAVA 
MATEMATICKA CITANKA 

1. GEOMETRIJSKI PROBLEMI 

Tri osnovna klasicna geometrijska problema su: 

- udvostrucavanje kocke; 

- kvadratura kruga; 

- trisekcija ugla. 

Na njihovo rjesenje cekalo se vise od dvije hiljade godina. 

Prije upoznavanja ovih problema potrebno je izloziti pojam 
elementarne geometrijske konstrukcije. Rjesavanje konstruktivnog 
zadatka se sastoji od konacno mnogo tzv. elementarnih 
konstrukcija kao sto su, na primjer : 

— konstrukcija prave kroz dvije tacke; 

— konstrukcija sjecista dvaju prava; 

— konstrukcija kruga kojem su dati centar i poluprecnik. 

Geometrijske konstrukcije koje se mogu izvesti samo 
pomocu lenjira i sestara nazivaju se elementarne konstrukcije . 



152 

Mnogi matematicki zadaci i problemi se rjesavaju 
geometrijski, algebarski ili metodom analiticke geometrije. Obicno 
geometrijska konstrukcija zahtijeva i algebarsku obradu zadatka. 
Na taj nacin formiraju se jednacine u kojima se javljaju velicine 
koje je potrebno konstruisati. Ako je problem sveden na 
algebarsku jednacinu prvog ili drugog stepena, onda se promatrani 
zadatak moze rijesiti elementarnim konstrukcijama. 



1.1. Udvostrucavanje kocke 

Problem udvostrucavanja kocke sastoji se u tome da se 
zadanoj kocki konstruise kocka dvostruko vece zapremine. O 
ovom problemu postoji nekoliko legendi. Jednu smo vec naveli. 
Prema drugoj, kralju Ptolemeju II se spomenik njegovog sina, 
koji je bio sagraden u obliku kocke, ucinio odvise mali te je 
zatrazio da se udvostruci. Graditelji su smatrali da se to moze 
rijesiti tako sto ce se ivica postojeceg spomenika udvostruci ti. 

Ako sa a oznacimo duzinu ivice date kocke, a sa X duzinu 
ivice kocke cija je zapremina dvaput veca od zapremine date 

kocke, onda je X = 2a , odakle je X = aV2 . Dakle, potrebno 

je konstruisati (lenjirom i sestarom) duz koja je V2 puta veca od 
duzi duzine a. Na taj nacin stereometrijski problem je sveden na 

planimetrijski. Medutim, V2 se ne moze kontruisati samo 

lenjirom i sestarom, za razliku od broja V2 . 

Kako su Grci sve probleme rjesavali geometrijski, to su i 
ovaj pokusali rijesiti na isti nacin: lenjirom i sestarom. Poslije niza 
neuspjesnih pokusaja uvidjeli su da je to nemoguce izvesti na 
elementaran nacin. 

Grci su pokusali rijesiti ovaj problem pomocu krivih drugog 
reda. Tako je Menehmo (oko 350. g. p.n.e.) dao dva rjesenja: 
jedno pomocu dvije parabole, a drugo pomocu parabole i 
hiperbole. Platon je za rjesenje ovog problema koristio krivu 



153 

treceg reda. Udvostrucavanjem kocke bavili su se i Apolonije 
(265-170 p.n.e.), Heron (1. vijek), Dekart, Njutn, Maskeroni (18. 
vijek) i drugi. 

Eratosten je konstruisao aparat za graficko rjesavanje ovog 
problema. 



1.2. Kvadratura kruga 

Kvadratura kruga je jedan od najstarijih i najpoznatijih 
matematickih problema: 

Konstruisati kvadrat cija 
je povrsina jednaka 
povrsini datog kruga. 

Ako je poluprecnik zadanog kruga I", a stranica trazenog 

2 2 

kvadrata X, onda je r 7T-X ; odakle slijedi da treba elementarno 
konstruisati velicinu X = rVTT . 

Problem kvadrature kruga rjesavali su mnogi matematicari i 
amateri skoro 2500 godina. U Rajndovom papirusu je izlozeno 
pravilo za priblizno odredivanje stranice kvadrata cija je povrsina 
jednaka povrsini datog kruga: 

Precnik kruga treba umanjiti za devetinu i na 
taj nacin se dobije stranica trazenog kvadrata. 

Grci se nisu zadovoljili sa pribliznim rjesenjima. Prve 
sacuvane biljeske o problemu kvadrature kruga svjedoce da se 
njime bavio i Anaksagora (5. vijek p.n.e.), osnivac atinske 
filozofske skole. Antifon iz Atine (5. vijek p.n.e.) je izracunao 
povrsinu kruga tako sto je upisivao u njega sve vece pravilne n- 
tougle. Vjerovao je da ce na taj nacin pomocu lenjira i sestara 
naci tacnu vrijednost. 



154 



Arhimed je u Mjerenju kruga dokazao da je 

obim kruga tri puta veci od precnika, i jos nesto 
vise, naime za manje od sedmine, ali za vise od 
deset sedamdesetjednina . 

Na taj nacin Arhimed dolazi do vrijednosti 71=3, 1 4. 

Leonardo da Vinci je pokusao da problem kvadrature kruga 
rjesi mehanicki konstruisuci uspravni valjak cija je visina bila 
jednaka cetvrtini precnika njegove osnove. 

Svi pokusaji rjesenja ovog problema ostala su bez rezultata. 
Mnogo kasnije njemacki matematicar Lindman (1882) ce pokazati 
da je broj 7t nemoguce elementarno konstruisati. Takode, dokazao 
je da n nije rjesenje nijedne algebarske jednacine s cjelobrojnim 
koeficijentima. Problem kvadrature kruga se svodio na 
konstrukciju broj a TC. 




Poljski matematicar Adam 
Kohanski (1631-1700) je dao 
interesantnu konstruktivnu 
metodu za priblizno odredi- 

vanje broja K (si. 55), kojom 
se taj broj odreduje na cetiri 
gj ^g tacne decimale. 

Konstruise se kruznica precnika T sa centrom u tacki O. 
Dalje, u tacki C precnika AC, konstruise se tangenta na 
kojoj odredimo tacke D i B tako da je 

ZCOD=30° i I DB| =3r. 

Tada se moze pokazati da je 

|AB| =r 3,1415... 

Za r=1 slijedi I AB| «7t. 



155 
1 .3 . Trisekcija ugla 

Problem trisekcije ugla su nametnule stvarne potrebe; Grci su 
svoje hramove i mnoge spomenike ukrasavali raznim ornamentima 
cija je konstrukcija zahtjevala dijeljenje ugla na tri podudarna 
ugla. Ovaj zadatak potice od Hipije (4. vijek p.n.e.), a sastoji se u 
tome da se zadani ugao elementarnom geometrijskom 
konstrukcijom podijeli na tri jednaka dijela. 

Poznato je da se ugao moze podijeliti na 2 podudarnih 
uglova, gdje je n prirodan broj. Ovaj postupak su pronasli Grci. 
Oni su znali za trisekciju nekih uglova. Ovaj problem se svodi 
na rjesavanje jednacine treceg stepena 

x 3 -3ax 2 -3x+a=0. 

Interesantnu ideju rjesenja trisekcije ugla dao je Hipija 
pomocu krive linije koja se naziva kvadratrisa. Ovim problemom 
su se bavili Arhimed, Nikomah, Dekart i drugi. 

Gaus je dokazao da se u opstem slucaju ovaj konstruktivni 
problem ne moze rijesiti na elementaran nacin. 

Uz trisekciju ugla spomenimo i problem konstrukcije 
pravilnog mnogougla, tj. podjele kruznice na jednake dijelove. 
Vavilonci su veoma dobro znali priblizno podijeliti kruznicu na 
sedam jednakih dijelova; Grci su elementarno dijelili kruznicu na 
2, 3, 4, 5, 6, 8 i 12 jednakih dijelova. Pokusaji da se krug 
podijeli na n jednakih dijelova, gdje je n proizvoljan prirodan 
broj, ostali su bez uspjeha. Krajem 18. vijeka Gaus je dokazao da 
se ovaj problem moze rijesiti elementarnim geometrijskim 
konstrukcijama samo za neke vrijednosti broja n. 

I poslije dokaza da se navedeni problemi ne mogu rijesiti 
veliki broj amatera je tragao za njihovim rjesenjem. Mnoge 
naucne ustanove su zatrpavane navodnim rjesenjima te se dosta 
vremena trosilo na razmatranja tih neuspjelih pokusaja. Zato je 
Pariska akademija 1775. godine objavila odluku da vise ne ispituje 



156 

nijedno rjesenje problema udvostrucavanje kocke, kvadrature kruga 
i trisekcije ugla kao niti ijednu masinu koja se "samostalno 
krece". Na taj nacin su tri klasicna geometrijska problema 
svrstana medu probleme kao sto je konstrukcija perpetum mobile. 



1.4. Didonin problem 

Prema legendi ovaj problem je nastao za vrijeme 
osnivanja drevnog grada Kartage na obali 
Sjeverne Afrike. Fenicanka Didona, koja poslije 
smrti roditelja nije mogla podnositi samovolju 
brata Pigmaliona, je pobjegla na obalu Sjeverne 
Afrike. Tamo se dogovorila sa kraljem Jarbasom 
da od njega kupi onoliko zemljista koliko se 
moze obuhvatiti kozom jednog bika. Ona je 
izrezala kozu na tanke kaiseve, povezala im 
krajeve i uspjela obuhvatiti zemljiste na kojem je 
kasnije izgradena Kartagina. 



U savremenoj matematickoj formulaciji Didonin problem 
glasi: 

Izmedu svih zatvorenih krivih linija u 
ravni, koje imaju jednak zadan obim, 
naci onu koja ogranicava najvecu 
povrsinu. 

Ovo je tzv. izoperimetrijski problem, koji se u matematici 
javlja u opstijem obliku: uz zadanu krivu zahtjeva se da se odredi 
druga kriva date duzine tako da povrsina izmedu ove i date krive 
bude sto je moguce veca. 

Ovaj problem su rjesavali Ojler i Stajner (19. vijek). Ojler je 
pokazao da od svih krivih u ravni koje imaju jednak obim najvecu 
povrsinu ogranicava kruznica. 



157 



1 .5 . Povrsina "krznarskog noza" 

Krznarski noz predstavlja figuru ogranicenu s tri polukruga, 
ciji su centri na jednoj pravi, i koji se dodiruju (slika 56). 




Arhimed dokazuje da je povrsina P krznarskog noza jednaka 
povrsini kruga precnika BD, upisanog u polukrug precnika AC: 



■n 



|DB| 



1.6. Povrsina "rimskog slanika" 



Rimski slanik ima oblik polulopte sa kruznim zlijebom i 
poklopcem u obliku polulopte (si. 57). Osni presjek ovog slanika, 
si. 58, Arhimed naziva "rimski slanik" i dokazuje da je njegova 
povrsina P jednaka povrsini kruga precnika DB: 



nr^oW 2 



P=7I 



PB 



158 




SI. 57. 




1.7. Hipokratovi mjeseci 

Grcki matematicar Hipokrat je zivio na ostrvu Hiosu u 
drugoj polovini 5. vijeka p.n.e. Smatra se da je napisao prvu 
knjigu iz geometrije. Pokusao je da nade tacan obrazac za 
izracunavanje povrsine kruga. U tome nije potpuno uspio, jer nije 
poznavao prirodu broja n. Njemu se pripisuje sljedeci problem. 

Ako se nad stranicama pravouglog trougla hipotenuze C, i 
kateta a i b konstruisu polukruznice, dobiju se povrsi Pj i P2 
koje nazivamo Hipokratovi mjeseci, slika 59. 




Ac B 

SI. 59. Hipokratovi mjeseci 



159 



Zbir povrsina Hipokratovih mjeseca jednaka je povrsini 
pravouglog trougla ABC: 



P 1+ P 2 



ab 
2 



Dobijena jednakost je interesantna, jer u njoj se pojavljuje 
broj 71. 



1.8. Apolonijev problem 

Konstruisati kruznicu koja 
dodiruje tri date kruznice. 

Ovaj klasicni zadatak o dodiru kruznica, zove se 
Apolonijev problem. Zadane kruznice k-|, l<2 i l<3 u odnosu prema 
trazenoj kruznici k mogu biti u osam razlicitih polozaja. Ako sa V 
i U oznacimo da kruznice k-|, k2 i k3 , redom, diraju trazenu 
kruznicu k izvana, odnosno iznutra, onda postoje ove 
mogucnosti: 



ki 


V 


V 


V 


V 


u 


u 


u 


u 


k 2 


V 


V 


u 


u 


V 


V 


u 


u 


k 3 


V 


u 


V 


u 


V 


u 


V 


u 



Apolonijev rad o dodiru kruznica nije 
sacuvan. O njemu se zna zahvaljujuci grckom 
matematicaru Papusu. Vijet je na osnovu njegovih 
komentara rekonstruisao i objavio ovo Apolonijevo 
djelo. 



160 



Skica rjesenja mogucih varijanti zadatka data je na slici 60. 




SI. 60. 

Ako poluprecnik kruznice smanjujemo tako da on tezi nuli, 
onda mozemo smatrati da je tacka specijalni slucaj kruznice. 
Takode, ako poluprecnik kruznice povecavamo do beskonacno 
velike vrijednosti, onda pravu mozemo interpretirati kao kruznicu 
sa beskonacno velikim poluprecnikom. 

Prema naprijed izlozenom moze se reci da je Apolonijev 
problem opsti zadatak, a njegovi specijalni slucajevi nastaju ako 



161 



pojedine date kruznice zamijenimo tackom odnosno pravom. Tada 
zadatak glasi: 

Konstruisati kruznicu koja dodiruje: 

(i) tri tacke; (vi) dvije prave i krug; 

(ii) dvije tacke i pravu; (vii) kruznicu, pravu i tacku; 

(Hi) dvije tacke i kruznicu; (viii) dva kruga i tacku; 

(iv) dvije prave i tacku; (ix) dvije kruznice i pravu; 

(v) tri prave; (x) tri kruga. 

Skica rjesenja navedenog zadatka je izlozena na slid 61. 



(0 

o 

c 

(iio 


(ii) 

B^P 

(iv) ^ 


:o 


p/\-vA\ q 


(vii) 


(vi) , 


q 

(viii) 


A cx> 


'S^ 


p 


(ix) 

kl Q-^ k2 


(x) 


P ^JO 


*>&^ 



SI. 61. 



162 

1.9.Euklidov peti postulat 

Euklidov peti postulat (prva knjiga Elemenata) iskazan je 
slozenije u odnosu na cetiri njegova prethodna postulata: 

"Neka se pretpostavi ... da ce se, ako 
jedna prava u preseku sa drugim dvema 
obrazuje sa iste strane dva unutrasnja 
ugla ciji je zbir manji od dva prava ugla, 
te dve prave, beskrajno produzene, seci i 
to sa one strane sa koje su ovi uglovi 
manji od dva prava."(s\. 62 ) 




a+P<180° 



SI. 62. Euklidov peti postulat 

Sama formulacija ovog postulata kao i cinjenica da ga je 
Euklid po prvi put primjenio u 29. teoremi prve knjige Elemenata 
navela je mnoge matematicare na ideju da se zapravo radi o 
teoremi, koju treba dokazati. Traganje za dokazom petog postulata 
trajalo je preko dvije hiljade godina. Mnogi matematicki umovi 
potrosili su mjesece, godine pa i decenije u nastojanjima da ga 
dokazu. Od Grka to su, na primjer, bili: Ptolemej (85-165), 
Simplicije (6. vijek), Aganis (6. vijek), Posidonije (oko 100. g. p. 
n. e.) i Proklo (5. vijek). 



163 



Prvi pokusaji dokaza petog postulata od strane arapskih 
matematicara poticu iz 9. vijeka. Oni su, polazeci od petog 
postulata kao apsolutno istinite tvrdnje, iskazali mnoge njemu 
ekvivalentne stavove. Svaki taj ekvivalent je posredno ili 
neposredno doprinosio da se dublje pronikne u sustinu i znacaj 
samog petog postulata. 

Ni evropski matematicari nisu zaostajali u pokusaju dokaza 
petog postulata. Medu njima su, pored ostalih, bili Farkas Boljaji, 
Valis, Sakeri, Lambert i Lezandr. Tek sa radovima matematicara 
Gausa, Janosa Boljaija i Lobacevskog problem petog postulata je 
rijesen. 

Ruski matematicar Lobacevski je umjesto Euklidovog petog 
postulata uveo aksiomu: 

Kroz datu tacku van date prave u istoj ravni mogu se 
povuci dvije prave koje ne sijeku datu pravu 

i pokazao da se u torn slucaju dobije jedna sasvim nova 
geometrija, u kojoj nema protivrjecnosti i koja je kao i euklidska 
geometrija istinita. Ovu geometriju Gaus naziva neeuklidska 
geometrija. 



Madarski matematicar Farkas Boljai je 
tragajuci za dokazom petog postulata sve vise 
bio uvjeren da je taj "nezajazljivi ambis u 
stanju, vjerovatno, da proguta hiljade takvih 
titana kao sto je Njutn, a ipak da se na Zemlji 
ne dode do razjasnjenja" . Zato je savjetovao 
sina Janosa da, ako zeli mir i spokojstvo, ne 
pokusava dokazati peti postulat. 

On ga nije poslusao te traga za rjesenjem 
ovog problema. Rezultat toga je otkrice nove 
geometrije, do kojeg je dosao potpuno 
nezavisno od Lobacevskog. Priznanje za svoj 
rad je, kao i Lobacevski, dobio poslije smrti. 



164 

2. PROBLEMI IZ TEORIJE BROJEVA 

2.1. Brojnost skupa prostih brojeva 

Jedan od prvih problema iz teorije brojeva javio se jos u 
doba starih Grka. On se odnosio na pitanje da li prostih brojeva 
ima konacno ili beskonacno mnogo. Euklid je ovaj problem 
izlozio u 20. stavu devete knjige Elemenata, koji glasi: 

Prostih brojeva je vise od svake 
odredene mnozine prostih brojeva. 

Danasnja formulacija ove teoreme glasi: 

Skup prostih brojeva je beskonacan. 

Dokazujuci ovu tvrdnju Euklid polazi od tri prosta broja i 
pri tome se sluzi duzima. Njegov nacin zakljucivanja primjenjuje 
se i danas pri generalizaciji ove teoreme. 

Smatra se da ova teorema potice iz Platonove skole. 

2.2. Formula za odredivanje prostih brojeva 

Vidjeli smo da se pomocu Eratostenovog sita mogu odrediti 
prosti brojevi. Mnogi matematicari su tragali za formulom koja ce 
davati samo proste brojeve. Prvi takav pokusaj pripisuje se 
Fermau, koji je 1640. godine tvrdio da su svi brojevi oblika 

F n =2 2 " +1 , za n=0,1,2,3 i 4, 

prosti brojevi. Na osnovu toga je zakljucio da izraz F n daje proste 
brojeve za svaki prirodan broj n. 



Sto godina kasnije Ojler je dokazao da je za n=5 broj 

2 5 
F 5 = 2 +1 slozen, jer se moze prikazati kao proizvod 

641-6700417. Kasnije se pokazalo da su i brojevi F6 , F7 i 
Fs slozeni. 



165 

Ojler je pokazao da je vrijednost polinoma X +X+41 , za 
X=0,1 ,2,...,39, prost broj. 

Francuski matematicar Mersen (1588-1648) je tvrdio da su 
brojevi oblika 2 -1, gdje je m = 1,2,3,5,7, prosti. 

Ovdje su navedeni samo neki od pokusaja da se odrede 
formule koje daju samo proste brojeve. Problem je do danas ostao 
nerijesen. Pa ipak zanimanja mnogih matematicara za ovaj 
problem dovela su do novih saznanja iz teorije brojeva. Tako, na 
primjer, ruski matematicar Cebisev je dokazo da izmedu prirodnog 
broja n i njegove dvostruke vrijednosti 2n ima bar jedan prost 
broj. 

2.3. Mersenovi brojevi 

Brojevi M p =2 — 1, gdje je p prost broj, nazivaju se 
Mersenovi brojevi. Oni su od posebnog znacaja, jer nalaze 
primjenu u drugim oblastima matematike, Mersen ih je izucavao u 
vezi sa savrsenim brojevima. On je tvrdio da su 2, 3, 5, 7, 13, 
17, 19, 31, 67, 127 i 257 jedini prosti brojevi, ne veci od 

257, za koje je broj 2—1 prost. 

Ova tvrdnja je pogresna. Pokazalo se da su neki od 
navedenih brojeva slozeni. Takode, Mersenova lista je prosirena sa 
prostim brojevima Msg i M107. 

Do danas nije dokazano da li Mersenovih brojeva ima 
konacno ili beskonacno mnogo; do pocetka 2000. godine bilo je 
poznato 38 Mersenovih brojeva. Najveci poznati prosti brojevi su 
zapravo Mersenovi brojevi. 



Mersenove brojeve mozemo definisati kao prirodne 
brojeve koji se u binarnom sistemu brojeva zapisuju 
samo sa cifrom 1, pri cemu je i broj cifara prost broj, 
na primjer: 

2 5 -1=31; 31 ( io)=11111(2) 



166 



2.4. Savrseni brojevi 



Broj koji je jednak zbiru svih svojih pravih djelilaca naziva 
se savrseni broj. Matematicare je interesovalo 

Da li ima beskonacno mnogo savrsenih brojeva i 
postoji li ijedan neparan savrsen brop. 

Do danas odgovor na ovo pitanje nije dat. Do kraja 1999. 
godine je otkriveno svega 38 savrsenih brojeva. Problem savrsenih 
brojeva, koji se smatra jednim od najstarijih problema iz teorije 
brojeva, ostaje i dalje nerijesen. 



2.5. Problem brojeva blizanaca 



Dva prosta broj a koji se razlikuju za 2 
blizancima. Brojevi blizanci su, na primjer, 

3 i 5; 5 i 7, 11 i 13 itd. 

Problem brojeva blizanaca glasi: 

Da li brojeva blizanaca ima konacno 
Hi beskonacno mnogo"? 

Do danas nije pronaden odgovor na ovo pitanje. 



nazivaju se 



2.6. Fermaova velika teorema 

Ferma je citajuci Diofantovu Aritmetiku na njenim 
marginama zapisivao biljeske koje su se odnosile na probleme iz 
teorije brojeva. To su uglavnom bili stavovi bez dokaza, koji ce 
kasnije biti potvrdeni od strane drugih matematicara. 

Jedan njegov komentar na marginama se moze formulisati 
kao sljedece tvrdenje: 

Ne postoje prirodni brojevi X, y, Z i n 
takvi da za n>2 vazi X +y =Z . 



167 



Ovaj stav je poznat pod imenom Fermaova velika teorema. 
U Fermaovoj zaostavstini nije pronaden njen dokaz iako je on na 
stranicama Diofantove Aritmetike zapisao da je nasao izvanredan 
dokaz te da ga ne moze izloziti, jer na marginama nema dovoljno 
mjesta. U posljednjih 350 godina mnogi matematicari su 
pokusavali da dokazu Fermaovu veliku teoremu; u torn nastojanju 
se doslo do vaznih i interesantnih rezultata iz teorije brojeva. 

Dokaz ove teoreme za n=4, dali su Ferma i Ojler, koji je 
dokazao tvrdnju i za n=3. Lezandr je dokazao tvrdnju za n=5 i 
n=14, a Dirihle za n=5 i n=7. 

Konacno je Fermaovu veliku teoremu rijesio Endrju Vajls, 
1994. godine. 



Za rjesenje Fermaove velike teoreme 
nagrade su raspisivale Pariska (1818) i 
Belgijska akademija (1883); Naucno 
drustvo iz Getingena je 1908. godine 
ponudilo nagradu od 100 000 maraka koju 
je zavjestao Nijemac Volfskel. 



3. TOPOLOSKI PROBLEMI 



3.1. Keningzberski mostovi 



Godine 1736. gradani Keningzberga, grada koji je smjesten 
na obalama i ostrvima rijeke Pregel (si. 63), postavili su pitanje 
da li je moguce, setajuci gradom, preci preko svih sedam mostova 
tako da se nijedan od njih ne prede vise od jednom. 



168 




SI. 63. Raspored mostova na rijeci Pregel 

Za ovaj problem se pored ostalih zainteresovao i Ojler. 
Oznacio je mostove linijama, a ostrva i obale kruzicima 
(cvorovima) i sliku 63 je zamijenio grafom prikazanim na slici 
64. Na taj nacin problem Keningzberskih mostova je sveo na 
zadatak: 




SI. 64. 



Moze li se graf sa slike nacrtati "jednim potezom", 
tj. tako da se olovka ne podize s papira i ne 
prelazi dva puta po jednoj liniji. 

Odgovor na postavljeno pitanje je negativan. Povezan graf uz 
zadane uslove moze se nacrtati "jednim potezom" samo ako ima 
dva ili nijedan cvor u kojem se sastaje neparan broj linija. Kako 
se u ovom grafu u sva cetiri cvora sastaje neparan broj linija to 



169 

se on ne moze nacrtati "jednim potezom". Dakle, ne moze se 
setajuci po Kenigzbergu preci preko svih sedam mostova tako da 
se nijedan od njih ne prede vise od jedanput. 



3.2. Problem cetiri boje 

Stamparima je poznato da se svaka geografska karta moze 
odstampati sa cetiri boje tako da se dvije zemlje sa zajednickom 
granicom oboje razlicitim bojama. Matematicari de Morgan i Keli 
postavili su 1850. godine zanimljiv problem: 

Moze li se svaka geografska karta u ravni 
ili na sferi obojiti s najvise cetiri boje 
tako da zemlje sa zajednickom granicom 
ne budu obojene istom bojom. 

Ovaj problem je imao veliki znacaj na dalji razvoj teorije 
grafova. Iako jednostavno formulisan, on je veoma tezak. Bilo je 
bezbroj pokusaja da se rijesi. 1890. godine Hivud je dokazao da 
je uvijek dovoljno pet boja da bi se bilo koja politicka karta 
drzava obojila tako da drzave sa zajednickom granicom ne budu 
obojene istom bojo. Tek 1976. godine Apel i Haken su dokazali 
da je, uz zadane uslove, za bojenje svake geografske karte u ravni 
ili na sferi potrebne najmanje cetiri boje. Za dokaz im je bilo 
potrebno oko 1200 casova rada kompjutera. 

Problem Kenigzberskih mostova kao i problem cetiri boje po 
svome sadrzaju pripadaju topologiji. Ovi problemi su svojim 
postojanjem i nacinom njihovog rjesavanja uticali na pojavu i 
razvoj jedne nove matematicke discipline koja se zove teorija 
grafova. 



170 

Literature 

1. David Eugene Smith: History of mathematics I, New York 1958. 

2. David Eugene Smith: History of mathematics II, New York 1958. 

3. M. Ruth Eagle: Exploring mathetatics through history, 

Cambridge University Press, Cambridge 1995. 

4. JjHpK J. CrpoJK: KpaTax nperjiep, HCTopnje MaTeMaTHice, 

3aBop, 3a H3p,aBaH>e yn6eHHKa, Eeorpap, 1969. 

5. Milos Radojcic: Opsta matematika, Naucna knjiga, Beograd 1950. 

6. Zeljko Markovic: Uvod u visu analizu I i II, Zagreb 1961-1965. 

7. P. A. Youschevitch: Les mathematique arabes (VIIP-XV e siecles), 

Libraire philosophique, Paris, 1976. 

8. r. H. rjieft3ep: Hctophh MaTeMaTHKH b iinco-ne ; VII- VIII KnaccBi, 

IlpocBemeHHHe , MocKBa 1982. 
9 . r. BujieiiTHep: Hctophh MaTeMaTHKH op, /IeKapTa po cpe^HHBi XIX 

CTOneTHH, MocKBa, 1960. 
10. r. A. KoBpii/KCiiKo: Chctcmbi CHHCJieHHH h flBOHHHaa apHTMeTHKa, 

KneB, 1984. 
11 . CM. OjiexHHK h ap: CTapnHHbie 3aHHMaTeTenBibi3aflaHH. Hayica, 

MocKBa, 1989. 

12. EyKJiH^OBH ejieMeHTH (npeBeo h KOMeHTap 3,ao Ahtoh BHJiHMOBHh), 

Cpncxa axa^eMHJa Hayxa, Eeorpap, 1949-58. 

13. Ernest Stipanic: Y CBeTy 6pojeBa h 4)Hrypa, Eeorpa,n, 1967. 

14. Franjo Hrabak: U svijetu matematickih pojmova i simbola, 

Skolska knjiga, Zagreb 1960. 

15. Milenko N. Nikolic: Istorijska i naucna evolucija realnog broja i njen 

pedagoski tretman, Zavod za izdavanje udzbenika, Beograd 
1966. 

16. Ranko Risojevic: Slavni arapski matematicari, Nolit, Beograd 1988. 

17. S. Znam i dr: Pogled u povijest matematike, Tehnicka knjiga, 

Zagreb 1989. 

18. Lanslot Hogben: Brojevi i stvarnost, Novo poglavlje, Beograd 1953. 

19. Ivan Bandic: Kako se nekad brojalo i racunalo, Matica Srpska, 

Novi Sad 1949. 

20. Stjepan Skarica: Kvadratura kruga, Skolska knjiga, Zagreb 1951. 

21. Boris Cekrlija: Peti postulat (specijalisticki rad) 

Prirodno-matematicki fakultet, Beograd 1987. 

22. V. Trbuhovic: Geometrija u prednaucnom periodu, Prisutna proslost, 

Matematicki institut, Beograd 1991. 

23. Casopisi: MaTeMaTHKa b mKOne, KBaHT, Matematicko-fizicki list, 
Matematicki list, Nastava matematike, Matematika i dr. 



171 



POPIS IMENA 



Abel (Raymond Niels Abel, 1802-1829) 

Abu-al-Vafa (940-998) 

Abu Ali ibn Sina (980-1039) 

Abu Kamil (850-930) 

Aganis (6. v.) 

Ahmes (oko 1700. p.n.e.) 

Anaksagora (oko 500-428. p.n.e.) 

Antifon iz Atine (5. v. p.n.e.) 

Apel (Kenneth Appel, 20. v.) 

Apolonije (265-170. p.n.e.) 

Argan (Jean Robert Argand, 1768- 

1822) 
Arhimed (287-212. p.n.e) 
Ariabhata I (1. v.) 
Ariabhata II (5. v.) 
Aristej (4. v.) 
Aristotel (384-322. p.n.e.) 
Aset (Jean Hachette, oko 1810) 

B 

Bebidz (Charles Babbage, 1792-1871) 
Bernuli, J. (Johann Bernulli, 1667- 

1748) 
Bezu (E. Bezout, 1730-1783) 
Bhaskara (1114-71185) 
Bifon (G. L. L. Buffon, 1707-1788) 
Bilimovic, Anton (1879-1970) 
al-Biruni (973-oko 1050) 
Boecije (A.M.S. Boetius, oko 480-524) 
Boljai, Janos (Janos Bolyai, 1802-1860) 
Boljai, Farkas (Farkas Bolyai, 1775- 

1856) 
Bombeli (Rafael Bombelli, oko 1530- 

1572) 
Boreli (G.A. Borelli, 1608-1679) 
Boskovic, Ruder (171 1-1787) 
Brahe (Tycho Brahe, 1546-1601) 
Brahmagupta (oko 598 - oko 665) 
Brianson (Charles Julien Brianchon, 

1785-1864) 
Buger (Pierre Bouguer, 1698-1758) 



Bui (George Boolle, 1815-1864) 



Cojlen (Ludolph van Ceulen, 1540- 
1610) 



Cang Hong (78-139) 
Cebisev, Pafnutij (1821-1894) 

D 

Dalamber (Jean le Rond d ' Alembert, 

1717-1783) 
Dedeklnd (Richard Dedekind, 1831- 

1916) 
Dekart (Rene Descartes, 1596-1650) 
Dezarg (Girard Desargues, 1591-1661) 
Dlofant (3. v.) 
Dlrlhle (P. G. L. Dirichlet, 1805-1859) 

Dz 

Dzons (Jones Williams, 1675-1749) 
Dzonson (G. Johnson, 17. v.) 



Ekert (J. P. Eckert, 20. v.) 
Eratosten (?276-?194. p.n.e.) 
Erigon (Pierre Herigone, 1580-1643) 
Eudoks (?408-?355. p.n.e.). 
Euklid (?365-?300. p.n.e.) 



Ferarl (Lodovico Ferari, 1522-1565) 
Ferma (Pierre de Fermat, 1601-1665) 
Fibonaci (Leonardo Fibonacci, oko 

1180-oko 1250) 
Fojerbah (K. Feuerbach, 1800-1834) 
Furje (Joseph Fourier, 1768-1830) 



172 



Galua (Evarist Galois, 1811-1832) 
Gaus (Carl Friedrich Gauss, 1777- 

1855) 
Gencen (Gerhard Gentzen, 1909-1945) 
Getaldic, Marin (1568-1626) 
Grasman (H. Grassmann, 1809-1877) 

H 

Hajam (OmarHajam, 1048-1123) 
Haken (Wolfgang Haken, 20. v.) 
Hamilton (William Rowan Hamilton, 

1805-1865) 
Hariot (Thomas Harriot, 1560-1621) 
Haupt (Otto Haupt, 20. v.) 
Helmut Has (Hasse Helmut, 1898- 

1979) 
Herodot (5. v. p.n.e.) 
Heron (oko 100. p.n.e) 
Hilbert (David Hilbert, 1862-1943) 
Hiparh iz Nikeje (7180-125. p.n.e.) 
Hipija (oko 425. p.n.e.) 
Hipokrat (450-430. p.n.e.) 
Hivud (P. J. Heawood, oko 1890) 
al-Horezmi (oko 780 - oko 850) 

K 

Kantor (Georg Cantor, 1845-1918) 

al-Karadzi (10/ 11. v.) 

Kardano (Gieronimo Cardano, 1501- 

1576) 
Kataldi (Pietro Antonio Cataldi, 1548- 

1626) 
al-Kasi (14 /15. v.) 
Kavaljeri (Bonaventura Cavalieri, 

1598-1647) 
Keli (Arthur Cay ley, 1821 -1895) 
Kepler (Johannes Kepler, 1571-1630) 
Klavije (Christopher Clavius, 16. v.) 
Kohanski (Adam Kohansky, 1631- 

1700) 
Kosi (Augustin Louis Caychy, 1789- 

1857) 



Lajbnic (Gottfried Wilhelm von 

Leibnitz, 1646-1716) 
Lakroa (S.F. Lacroix, 1765-1843) 
Lambert (Johann H. Lambert, 1728- 

1777) 
Leonardo iz Pize, vidi Fibonaci 
Lezandr (Adrien Marie Legendre, 

1752-1833) 
Li (13. v.) 
Lindman (Carl L. F. von Lindemann, 

1852-1939) 
Lobacevski, Nikolaj (1792-1856) 

M 

Maskeroni (Lorenzo Massheroni, 

1750-1800) 
Mahavira (9. v.) 
Menehmo (oko 350. p.n.e.) 
de Mer (Jean de Mer, 16. v.) 
Mersen (Marin Mersenne, 1588-1648) 
Mokli (I. W. Mauchly, 20. v.) 
Molvajd (Carl B. Mollweide, 1774- 

1825) 
de Morgan (Augustus de Morgan, 

1806-1871) 

N 

al-Nairizi (9/10. v.) 

Nemorari (Jordanus Nemorarius,13. v.) 

Neper (John Napier, 1550-1617) 

Nikomah (oko 100) 

Nojman (John von Neumann, 20. v.) 

Nj 

Njutn (Isaac Newton, 1643-1727) 
O 

Ojler (Johann Albrecht Euler, 1707- 

1783) 
Orem (Nicole Oresme, 1323-1382) 
Outred (Wiliam Oughtred, 1574-1660) 



173 



Pacoli (Luca Pacioli, 1445-1514) 

Paganini (Nicolo Paganini, 17. v.) 

Papus (oko 320 p.n.e.) 

Paskal (Blaise Pascal, 1623-1662) 

Peano (Giuseppe Peano, 1858-1932) 

Petrovic, Mihailo (1868-1943) 

Pitagora (6. v. p.n.e.) 

Platon (427-347. p.n.e.) 

Plinije (1. v.) 

Ponsle (Jean Victor Poncelet, 1788- 

1867) 
Posldonije (oko 100. p.n.e) 
Proklo ( 410-485) 
Ptolemej (Claudius Ptolomy, oko 85- 

165) 

R 

Radojcic, Milos (1903-1975 ) 
Rajnd (A.H. Rhind, 19. v.) 
Ramus (P. Ramus, 1515-1572) 
Ran (Johann Rahnn, 1622-1676) 
Rasel (Bertrand Russell, 1872-1970) 
Regiomontanus (loannes 

Regiomontanus, 1436-1476) 
Rekord (Robert Record, 1510-1558) 
Rize (AdamRiese, 1492-1559) 
Rolinson (Richard Rowlinson, 17. v.) 
Rudolf (Cristoff Rudolff, ?1499-?1545) 

S 

Sabit Ibn Kora (Sabit ibn Quorra, oko 

830-901) 
Sakeri (Girolamo Sacchheri, 1667- 

1733) 
Simplicije (6. v.) 

Simson, R. (Robert Simson, 1687-1768) 
Simson, T. (Tomas Simpson, 1717- 

1761) 
Smirnski (1. v.) 

Snel (Willebroord Snellius, 1580-1626) 
Sokrat (oko 425. p.n.e.) 
Stevin (Simon Stevin, 1546-1620) 



Sike (Nicole Chuquet, 71445-71500) 
Stajner (Jakob Steiner, 1796-1863) 
Stajnhauzer (A. Steinhauser, 19.v.) 
Stifel (Michael Stifel, oko 1486-1567) 
Suten (Frans van Schooten, oko 1615- 
1660) 



Tales (oko 625-547. p.n.e.) 

Tartalja (N. Tartaglia, oko 1500-1559) 

Teon iz Smirne (oko 125) 



Vajerstras (Karl Weierstrass, 1815- 

1897) 
Vajls (Andrew Wiles, 20. v.) 
Vajthed (A. N. Whitehead, 1861-1947) 
Valis (JohnWallis, 1616-1703) 
Van Fan (229-267). 
Vega (Jurij Vega, 1754-1802) 
Vejl (Andre Weyl, 1906-1998) 
Vidman (Jan Widmann, 15. v.) 
Vljet (Francois Viete, 1540-1603) 
da Vinci (Leonardo da Vinci, 1452- 

1519) 
Volf, (R. Wolf, 19. v.) 
Volfskel (P. Wolfskehl, 1856-1906) 
Vorpicki (Julius Worpitzky, 1853-1895) 

Z 

Zenon (oko 490-7430. p.n.e.) 

Z 

Zirar (Albert Girard, oko 1595-1632) 



CIP - KaTanorH3amija y ny6nHKaL(HJH 
HapoflHa h yHHBep3HTeTCKa 6H6jiHOTeKa 
Peny6jiHKe Cpncxe, Earta Jlyica 

51(076.1)(091) 

HEKPJIHJA, Bopnc 

Vremeplovom kroz matematiku / Boris Cekrlija. - 2. izd. - Laktasi : Grafomark, 2000 
(Laktasi: Grafomark). - 173 str.: rpacj). npHKa3H; 25 cm 

Tiraz 1000. - Op. 3: Predgovor / (ayTop). - EH6jiHorpa(J)HJa: CTp. 170. - PeriicTap. 

ISBN 86-82875-28-4 

FLO.: MATEMATMKA- Bje>K6e, MATEMATMKA - HcTopHja 

MFN=000405 



IZVODI IZ RECENZIJA 

Autor je pokazao siroko poznavanje 
materije o kojoj pise. Stil kojim je knjiga 
pisana omogucava da se uz potrebnu 
matematicku strogost istaknu 

najinteresantniji aspekti istorijske prirode. 
Znacajno je da se pojavljuju ovakva 
izdanja koja mogu pomoci da se kod 
ucenika razvije i odrzi interes za 
matematiku. Smatram da ce knjiga privuci 
paznju citalaca i da ce popuniti izvjesnu 
prazninu koja kod nas postoji kada se radi 
o izdavanju popularnih matematickih 
knjiga. 

dr Ratko Tosic 

Cijela knjiga se moze shvatiti kao 
roman o matematici ili kao zbirka 
izuzetno zanimljivih prica o matematickim 
pojmovima. Moze se reci da je ponudeni 
rukopis, pre svega odlicna ideja, a onda i 
kvalitetno realizovana ideja. Knjiga 
Vremeplovom kroz matematiku bice od 
izvanredne koristi i za nastavnike i za 
ucenike, i to ne samo za one koji imaju 
izrazene sklonosti prema matematici, vec i 
za one koji nisu njeni ljubitelji. 



Boris Cekrlija je roden 

1948. godine u Banjoj Luci, 

gdje je zavrsio osnovnu 

skolu i gimnaziju. 

Diplomirao je na 

Prirodoslovno- 

matematickom fakultetu u 

Zagrebu, odsjek za 

matematiku i fiziku. 

Poslij ediplomske 

specijalisticke studije 

zavrsio je na Prirodno- 

matematickom fakultetu u 

Beogradu. Do 1985. godine 

radi kao srednjoskolski 

profesor matematike, a 

zatim kao prosvjetni 

savjetnik, odnosno skolski 

nadzornik za matematiku. 

Objavio je vise strucnih 

radova iz matematike, 

metodike nastave 

matematike te istorije i 

metodologije matematike. 



mr Vladimir Stojanovic 



IZVODI iZ RECENZUA 

Autor je pokazao siroko 
poznavanje materije o kojoj 
pise. Stil kojim je knjiga pisana 
omogucava da se uz potrebnu 
matematicku strogost istaknu 
najinteresantniji aspekti istorijske 
pnrode. Znacajno je do se 
pojavljuju ovakvo izdonja koja 
mogu pomoci do se kod 
ucenika razvije i odrzi interes za 
matematiku. Smatram da ce 
knjiga privuci paznju citalaca i 
da ce popuniti izvjesnu 
prazninu koja kod nas postoji 
kada se radi o Izdavanju 
popularnih matematickih 
knjiga. 

dr Ratko Tosic 

Cijela knjiga se moze 
shvatiti kao roman o 
matematici Hi kao zbirka 
izuzetno zanimljivih prica o 
matematickim pojnnovima. 
Moze se reci da je ponudeni 
rukopis, pre svego odlicna 
ideja. a onda i kvalitetno 
realizovana ideja. Knjiga 

m ep t ovom k roz 
matematiku bice od 
izvanredne koristi i za 
nastavnike i za ucenika i to ne 
samo za one koji imaju 
izrazene sklonosti prema 
matematici. veci za one koji 
nisunjeniljubitelji. 

mr Vladimir Stojanovic 



Boris Cekrlija je roden 

1 948. godine u Banjoj 

Luci, gdje je zavrsio 

osnovnu skolu i 

gimnaziju. Diplomirao 

je na Prirodoslovno- 

motematickom 

fakultetu u Zagrebu. 

odsjek za matematiku 

i fiziku. Poslijediplomske 

specijatisticke studije 

zavrsio je no Prirodno- 

matematickom 

fakultetu u Beogradu. 

Do 1 985. godine radi 

kao srednjoskolski 

profesor matematike, 

a zatim kao prosvjetni 

savjetnik, odnosno 

skolski nadzornik za 

matematiku. Objavto 

je vise strucnih radova 

\z matematike, 

metodike nastave 

matematike te istorije i 

metodologiie 

matematike.